Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi n∈ℕ*: 1+q+q2+q3+q4+…+qn−1=1−qn1−q (q≠1).

Hướng dẫn giải Bước 1. Với n = 1, ta có q1 – 1 = q0 = 1 = 1−q1−q=1−q11−q. Do đó đẳng thức đúng với n = 1. Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 1+q+q2+q3+q4+…+qk−1=1−qk1−q. Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:1+q+q2+q3+q4+…+qk−1+q(k+1)−1=1−qk+11−q. Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: 1+q+q2+q3+q4+…+qk−1+q(k+1)−1 =1−qk1−q+q(k+1)−1=1−qk1−q+qk=1−qk+qk(1−q)1−q=1−qk+qk−qk+11−q=1−qk+11−q. Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1. Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Câu hỏi:

12/07/2024 3,484

Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ :
$1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots + q^{n - 1} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} (q \neq 1) .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có q1 – 1 = q0 = 1 = $\frac{1 - q}{1 - q} = \frac{1 - q^{1}}{1 - q} .$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots + q^{k - 1} = \frac{1 - q^{k}}{1 - q} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots + q^{k - 1} + q^{(k + 1) - 1} = \frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots + q^{k - 1} + q^{(k + 1) - 1}$

$= \frac{1 - q^{k}}{1 - q} + q^{(k + 1) - 1}$ $= \frac{1 - q^{k}}{1 - q} + q^{k}$ $= \frac{1 - q^{k} + q^{k} (1 - q)}{1 - q}$ $= \frac{1 - q^{k} + q^{k} - q^{k + 1}}{1 - q}$ $= \frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh rằng n³ + 2n chia hết cho 3 với mọi $n \in ℕ^{*}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 13 + 2 . 1 = 3 ⁝ 3. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k3 + 2k ⁝ 3.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

(k + 1)³ + 2(k + 1) ⁝ 3.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

(k + 1)³ + 2(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 2k + 2 = (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)

Vì (k³ + 2k) và (3k² + 3k + 3) đều chia hết cho 3 nên (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3) ⁝ 3 hay (k + 1)3 + 2(k + 1) ⁝ 3.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Câu 2

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ :

a) $1.2 + 2.3 + 3.4 + \dots + n . (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3};$

b) $1 + 4 + 9 + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ;

c) $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$ .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(1 + 1) = 2 = $\frac{1 (1 + 1) (1 + 2)}{3} .$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1.2 + 2.3 + 3.4 + \dots + k . (k + 1) = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1.2 + 2.3 + 3.4 + \dots + k . (k + 1) + (k + 1) [(k + 1) + 1] = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [(k + 1) + 2]}{3} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1.2 + 2.3 + 3.4 + \dots + k . (k + 1) + (k + 1) [(k + 1) + 1]$

$= \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3} + (k + 1) (k + 2)$

$= \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3} + \frac{3 (k + 1) (k + 2)}{3}$

$= \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 3)}{3}$

$= \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [(k + 1) + 2]}{3} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 12 = 1 = $\frac{1 (1 + 1) (2.1 + 2)}{6} .$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1 + 4 + 9 + \dots + k^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1 + 4 + 9 + \dots + k^{2} + {(k + 1)}^{2} = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [2 (k + 1) + 1]}{6} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1 + 4 + 9 + \dots + k^{2} + {(k + 1)}^{2}$

$= \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + {(k + 1)}^{2}$

$= \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{6 {(k + 1)}^{2}}{6}$

$= \frac{k + 1}{6} [k (2 k + 1) + 6 (k + 1)]$

$= \frac{k + 1}{6} [2 k^{2} + 7 k + 6]$

$= \frac{k + 1}{6} (k + 2) (2 k + 3)$

$= \frac{k + 1}{6} [(k + 1) + 1] [2 (k + 1) + 1]$

= \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [2 (k + 1) + 1]}{6} .

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có 21 – 1 = 20 = 1 = 21 – 1.

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{k - 1} = 2^{k} - 1.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{k - 1} + 2^{(k + 1) - 1} = 2^{k + 1} - 1.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{k - 1} + 2^{(k + 1) - 1}$

$= (2^{k} - 1) + 2^{(k + 1) - 1}$

$= 2^{k} - 1 + 2^{k}$

$= {2.2}^{k} - 1$

$= 2^{k + 1} - 1.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Câu 3

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Chứng minh rằng, với mọi $n \in ℕ^{*}$ , ta có:

a) 52n – 1 chia hết cho 24;

b) n3 + 5n chia hết cho 6.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, người gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi T_n là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ $n (n \in ℕ^{*})$ .

a) Tính T₁, T₂, T₃.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính T_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong mặt phẳng, cho đa giác A₁ A₂ A₃... A_n có n cạnh (n ≥ 3). Gọi S_n là tổng số đo các góc trong của đa giác.

a) Tính S₃, S₄, S₅ tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính S_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi n∈ℕ*: 1+q+q2+q3+q4+…+qn−1=1−qn1−q (q≠1).

Bình luận

Chứng minh rằng n3 + 2n chia hết cho 3 với mọi n∈ℕ*.

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*: a) 1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1)=n(n+1)(n+2)3; b) 1+4+9+…+n2=n(n+1)(2n+1)6; c) 1+2+22+23+24+…+2n−1=2n−1.

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2.

Chứng minh rằng, với mọi n∈ℕ*, ta có: a) 52n – 1 chia hết cho 24; b) n3 + 5n chia hết cho 6.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ :
$1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots + q^{n - 1} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} (q \neq 1) .$

Chứng minh rằng n³ + 2n chia hết cho 3 với mọi $n \in ℕ^{*}$ .

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ :

a) $1.2 + 2.3 + 3.4 + \dots + n . (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3};$

b) $1 + 4 + 9 + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ;

c) $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$ .

Chứng minh rằng, với mọi $n \in ℕ^{*}$ , ta có:

a) 52n – 1 chia hết cho 24;

b) n3 + 5n chia hết cho 6.