Câu hỏi:

12/07/2024 2,143

Trong mặt phẳng, cho đa giác A1 A2 A3... An có n cạnh (n ≥ 3). Gọi Sn là tổng số đo các góc trong của đa giác.

a) Tính S3, S4, S5 tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính Sn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) S3 = 180o, S4 = 360o, S5 = 540o.

b) Từ a) ta dự đoán Sn = (n – 2) . 180o.

Ta chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 3, ta có tổng ba góc của một tam giác bằng 180o = (3 – 2) . 180o. Vậy công thức đúng với n=3.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 3, ta sẽ chứng minh công thức đúng với n = k + 1.

Trong mặt phẳng, cho đa giác A1 A2 A3... An có n cạnh (n ≥ 3). Gọi Sn là tổng số đo các góc trong của đa giác. a) Tính S3, S4, S5 tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác. b) Từ đó, dự đoán công thức tính Sn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học. (ảnh 1)

Thật vậy, xét đa giác k + 1 cạnh A1A2...AkAk + 1, nối hai đỉnh A1 và Ak ta được đa giác k cạnh A1A2...Ak. Theo giả thiết quy nạp, tồng các góc của đa giác k cạnh này bằng (k – 2) . 180o

Dễ thấy tổng các góc của đa giác A1A2...AkAk + 1 bằng tổng các góc của đa giác

A1A2...Ak cộng với tổng các góc của tam giác Ak + 1AkA1, tức là bằng

(k – 2) . 180o + 180o = (k – 1) . 180o = [(k+1) – 2] . 180o.

Vậy công thức đúng với mọi đa giác n cạnh, n ≥ 3.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 13 + 2 . 1 = 3 ⁝ 3. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k3 + 2k ⁝ 3.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

(k + 1)3 + 2(k + 1) ⁝ 3.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

(k + 1)3 + 2(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 2k + 2 = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

Vì (k3 + 2k) và (3k2 + 3k + 3) đều chia hết cho 3 nên (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3) ⁝ 3 hay (k + 1)3 + 2(k + 1) ⁝ 3.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n 1.

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(1 + 1) = 2 = 1(1+1)(1+2)3. 

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:1.2+2.3+3.4++k.(k+1)=k(k+1)(k+2)3.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:1.2+2.3+3.4++k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]3.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1.2+2.3+3.4++k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]

=k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)

=k(k+1)(k+2)3+3(k+1)(k+2)3

=(k+1)(k+2)(k+3)3

=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]3.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 12 = 1 = 1(1+1)(2.1+2)6. 

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

1+4+9++k2=k(k+1)(2k+1)6.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:1+4+9++k2+(k+1)2=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1+4+9++k2+(k+1)2

=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2

=k(k+1)(2k+1)6+6(k+1)26

=k+16[k(2k+1)+6(k+1)]

=k+16[2k2+7k+6]

=k+16(k+2)(2k+3)

=k+16[(k+1)+1][2(k+1)+1]

 
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có 21 – 1 = 20 = 1 = 21 – 1.

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

1+2+22+23+24++2k1=2k1.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

1+2+22+23+24++2k1+2(k+1)1=2k+11.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1+2+22+23+24++2k1+2(k+1)1

=(2k1)+2(k+1)1

=2k1+2k

=2.2k1

=2k+11.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n 1.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay