Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

a) $1.2+2.3+3.4+\dots +n.(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3};$

b) $1+4+9+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;

c) $\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{\dots }\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}{\mathbf{2}}^{\mathbf{n}}\mathbf{-}\mathbf{1}$.

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(1 + 1) = 2 = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}.$ 

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:$1.2+2.3+3.4+\dots +k.(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1.2+2.3+3.4+\dots +k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]=\frac{(k+1)\left[(k+1)+1\right][(k+1)+2]}{3}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1.2+2.3+3.4+\dots +k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]$

$=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$

$=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$

$=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

$=\frac{(k+1)\left[(k+1)+1\right][(k+1)+2]}{3}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 12 = 1 = $\frac{1(1+1)(2.1+2)}{6}.$ 

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+4+9+\dots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1+4+9+\dots +k^2+{(k+1)}^2=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+4+9+\dots +k^2+{(k+1)}^2$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+{(k+1)}^2$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6{(k+1)}^2}{6}$

$=\frac{k+1}{6}[k(2k+1)+6(k+1)]$

$=\frac{k+1}{6}[2k^2+7k+6]$

$=\frac{k+1}{6}(k+2)(2k+3)$

$=\frac{k+1}{6}[(k+1)+1][2(k+1)+1]$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có 21 – 1 = 20 = 1 = 21 – 1.

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots +2^{k-1}=2^k-1.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots +2^{k-1}+2^{(k+1)-1}=2^{k+1}-1.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots +2^{k-1}+2^{(k+1)-1}$

$=(2^k-1)+2^{(k+1)-1}$

$=2^k-1+2^k$

$={2.2}^k-1$

$=2^{k+1}-1.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.