Cho x; y là hai số thực thỏa mãn \(xy + \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}  = 1\). Chứng minh rằng \(x\sqrt {1 + {y^2}}  + y\sqrt {1 + {x^2}}  = 0\).

1) \(\Delta SBC\) và \(\Delta SMA\) có:

\(\widehat {BSC} = \widehat {MSA}\), \(\widehat {SCB} = \widehat {SAM}\) (góc nội tiếp cùng chắn )

\( \Rightarrow \Delta DBC\) đồng dạng với \(\Delta SMA\).

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

2) Vì \(AB \bot CD\) nên .

Suy ra: \(\widehat {MHB} = \widehat {MKB}\) (vì cùng bằng )

\( \Rightarrow \) Tứ giác BMHK nội tiếp được đường tròn \( \Rightarrow \widehat {HMB} + \widehat {HKB} = 180^\circ \). (1)

Lại có: \(\widehat {HMB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \) (2) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Từ (1) (2) suy ra \(\widehat {HKB} = 90^\circ \) do đó \(HK//CD\) (cùng vuông góc với AB).

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chứng minh chúng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.

3) Vẽ đường kính MN suy ra  .

Ta có:

Mà  và  nên \(\widehat {OSM} = \widehat {OMK}\)

\( \Rightarrow \Delta OSM\) đồng dạng với \(\Delta OMK\)

\( \Rightarrow \frac{{OS}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{OK}} \Rightarrow OK.OS = {R^2}\)

Nhận xét: Bài toán chứng minh một đẳng thức bằng cách chứng minh tam giác đồng dạng.

1) Với \(x > 9\) thì biểu thức P đã có nghĩa.

Ta có: \[P = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right]\]

\[ = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{4 - x}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1 - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{x - 2\sqrt x }}} \right] = \left( {\frac{{8\sqrt x  + 4x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}} \right)\]

\( = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right].\left( {\frac{{x - 2\sqrt x }}{{3 - \sqrt x }}} \right) = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} \right).\left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}} \right] = \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\)

Vậy \(P = \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\)

Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(a \ge 0\)

Ta có: \(P = \left( {\frac{{4a}}{{2 + a}} + \frac{{8{a^2}}}{{4 - {a^2}}}} \right):\left( {\frac{{a - 1}}{{{a^2} - 2a}} - \frac{2}{a}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{4a\left( {2 - a} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}} + \frac{{8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{a - 1}}{{a\left( {a - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a\left( {a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{4a\left( {2 - a} \right) + 8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{a - 1 - 2\left( {a - 2} \right)}}{{a\left( {a - 2} \right)}} = \frac{{4{a^2} + 8a}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{3 - a}}{{a\left( {a - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{4a\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}.\frac{{a\left( {a - 2} \right)}}{{3 - a}} = \frac{{4{a^2}}}{{a - 3}} = \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\)

Nhận xét. Bài toán rút gọn biểu thức áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

2) Ta có: \(m\left( {\sqrt x  - 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x  - 3} \right).\frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} > x + 1\)

\( \Leftrightarrow 4mx > x + 1 \Leftrightarrow \left( {4m - 1} \right)x > 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}\\x > \frac{1}{{4m - 1}}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Giải (*), do \(x > 9 \Leftrightarrow \frac{1}{{4m - 1}} > 9 \Leftrightarrow \frac{1}{9} > 4m - 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{18}} > m\)

Như vậy \(\frac{1}{4} < m < \frac{5}{{18}}\).

Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện của tham số để biến thỏa mãn một bất đẳng thức trước