Cho x; y là hai số thực thỏa mãn \(xy + \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}  = 1\). Chứng minh rằng \(x\sqrt {1 + {y^2}}  + y\sqrt {1 + {x^2}}  = 0\).

1) \(\Delta SBC\) và \(\Delta SMA\) có:

\(\widehat {BSC} = \widehat {MSA}\), \(\widehat {SCB} = \widehat {SAM}\) (góc nội tiếp cùng chắn )

\( \Rightarrow \Delta DBC\) đồng dạng với \(\Delta SMA\).

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

2) Vì \(AB \bot CD\) nên .

Suy ra: \(\widehat {MHB} = \widehat {MKB}\) (vì cùng bằng )

\( \Rightarrow \) Tứ giác BMHK nội tiếp được đường tròn \( \Rightarrow \widehat {HMB} + \widehat {HKB} = 180^\circ \). (1)

Lại có: \(\widehat {HMB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \) (2) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Từ (1) (2) suy ra \(\widehat {HKB} = 90^\circ \) do đó \(HK//CD\) (cùng vuông góc với AB).

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chứng minh chúng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.

3) Vẽ đường kính MN suy ra  .

Ta có:

Mà  và  nên \(\widehat {OSM} = \widehat {OMK}\)

\( \Rightarrow \Delta OSM\) đồng dạng với \(\Delta OMK\)

\( \Rightarrow \frac{{OS}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{OK}} \Rightarrow OK.OS = {R^2}\)

Nhận xét: Bài toán chứng minh một đẳng thức bằng cách chứng minh tam giác đồng dạng.

1) Gọi chiều dài của thửa ruộng là \[x\] (m).

Chiều rộng là y (m).

Điều kiện:\[x,{\rm{ }}y > 0\] .

Diện tích thửa ruộng là \(x.y\).

Nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3 m thì diện tích thửa ruộng lúc này là: \(\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right)\) và diện tích tăng thêm 100m2, tức là \(\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\) (1)

Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích thửa ruộng còn lại là \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\) và diện tích giảm đi 68m2, tức là \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + 3x + 2y + 6 = xy + 100\\xy - 2x - 2y + 4 = xy - 68\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 94\\2x + 2y = 72\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22\\x + y = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22\\y = 14\end{array} \right.\)

Vậy diện tích thửa ruộng là: \(S = 22.14 = 308\left( {{m^2}} \right)\)

2) Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 2\), nên ta có phưong trình: \( - 2 = a.0 + b \Leftrightarrow b =  - 2\)

Suy ra đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng: \(y = ax - 2\).

Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax - 2\) cắt đồ thị \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\) tại điểm có hoành độ bằng 2, nên ta có phương trình:\(a.2 - 2 = \frac{1}{4}{.2^2} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\)

Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) là: \(y = \frac{3}{2}x - 2\).