Một hằng số quan trọng trong toán học là số e có giá trị gần đúng với 12 chữ số thập phân là 2,718281828459.

a) Giả sử ta lấy giá trị 2,7 làm giá trị gần đúng của e. Hãy chứng tỏ sai số tuyệt đối không vượt quá 0,02 và sai số tương đối không vượt quá 0,75%.

b) Hãy quy tròn e đến hàng phần nghìn.

c) Tìm số gần đúng của số e với độ chính xác 0,00002.

a) Cỡ mẫu là: n = 50.

Số trung bình: $\overline{x}=\frac{1.8+10.19+19.20+17.21+3.22}{50}=20,02$

Giá trị 20 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là 20.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

8; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 22; 22; 22.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên trung vị mẫu là $\frac{1}{2}(20+20)=20$.

b) Phương sai mẫu là:

S² = $\frac{1}{50}$(1 . 8² + 10 . 19² + 19 . 20² + 17 . 21² + 3 . 22²) – 20,02² = 3,6596.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{3,6596}\approx 1,9$.

Khoảng biến thiên của mẫu là: R = 22 – 8 = 14.

Tứ phân vị thứ hai là trung vị của mẫu số liệu đã cho nên Q₂ = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 8; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20. Do đó Q₁ = 20.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 22; 22; 22. Do đó Q₃ = 21.

Khoảng tứ phân vị là ∆_Q = 21 – 20 = 1.

Ta có: Q₃ + 1,5∆_Q = 21 + 1,5 . 1 = 22,5 và Q₁ – 1,5∆_Q = 20 – 1,5 . 1 = 18,5.

Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu đã cho là 8.

a)

* Đội A:

+ Số trung bình của tuổi: $\overline{x_A}=\frac{28+24+26+25+25+23+20+29+21+24+24}{11}\approx 24,45$

+ Giá trị 24 có tần số lớn nhất (3) nên mốt của mẫu số liệu ở đội A là 24.

+ Phương sai mẫu:

$S_A^2=\frac{1}{11}$(28² + 24² + 26² + 25² + 25² + 23² + 20² + 29² + 21² + 24² + 24²) – (24,45)²

≈ 6,65.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu: S_A = $\sqrt{S_A^2}=\sqrt{6,65}\approx 2,58$.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

20; 21; 23; 24; 24; 24; 25; 25; 26; 28; 29.

Vì cỡ mẫu là 11 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q_2A = 24.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 20; 21; 23; 24; 24. Do đó Q_1A = 23.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 25; 25; 26; 28; 29. Do đó Q_3A = 26.

* Đội B:

+ Số trung bình của tuổi: $\overline{x_B}=\frac{32+20+19+21+28+29+21+22+29+19+29}{11}\approx 24,45$

+ Giá trị 29 có tần số lớn nhất (3) nên mốt của mẫu số liệu ở đội B là 29.

+ Phương sai mẫu:

$S_B^2=\frac{1}{11}$(32² + 20² + 19² + 21² + 28² + 29² + 21² + 22² + 29² + 19² + 29²) – (24,45)²

≈ 22,11.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu: S_B = $\sqrt{S_B^2}=\sqrt{22,11}\approx 4,7$.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

19; 19; 20; 21; 21; 22; 28; 29; 29; 29; 32.

Vì cỡ mẫu là 11 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q_2B = 22.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 19; 19; 20; 21; 21. Do đó Q_1B = 20.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 28; 29; 29; 29; 32. Do đó Q_3B = 29.

b) Ta thấy độ lệch chuẩn và phương sai mẫu số liệu ở đội B cao hơn đội A. Điều đó có nghĩa là tuổi của các cầu thủ ở đội B có độ phân tán cao hơn đội A.

Vậy tuổi của các cầu thủ ở đội A đồng đều hơn đội B.