Mỗi học sinh lớp 10A đóng góp 2 quyển sách cho thư viện trường. Lớp trưởng thống kê lại số sách mà mỗi tổ trong lớp đóng góp ở bảng sau:

Hãy cho biết lớp trưởng đã thống kê chính xác chưa. Tại sao?

a) Cỡ mẫu là: n = 50.

Số trung bình: $\overline{x}=\frac{1.8+10.19+19.20+17.21+3.22}{50}=20,02$

Giá trị 20 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là 20.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

8; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 22; 22; 22.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên trung vị mẫu là $\frac{1}{2}(20+20)=20$.

b) Phương sai mẫu là:

S² = $\frac{1}{50}$(1 . 8² + 10 . 19² + 19 . 20² + 17 . 21² + 3 . 22²) – 20,02² = 3,6596.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{3,6596}\approx 1,9$.

Khoảng biến thiên của mẫu là: R = 22 – 8 = 14.

Tứ phân vị thứ hai là trung vị của mẫu số liệu đã cho nên Q₂ = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 8; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20. Do đó Q₁ = 20.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 22; 22; 22. Do đó Q₃ = 21.

Khoảng tứ phân vị là ∆_Q = 21 – 20 = 1.

Ta có: Q₃ + 1,5∆_Q = 21 + 1,5 . 1 = 22,5 và Q₁ – 1,5∆_Q = 20 – 1,5 . 1 = 18,5.

Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu đã cho là 8.

a)

* Đội A:

+ Số trung bình của tuổi: $\overline{x_A}=\frac{28+24+26+25+25+23+20+29+21+24+24}{11}\approx 24,45$

+ Giá trị 24 có tần số lớn nhất (3) nên mốt của mẫu số liệu ở đội A là 24.

+ Phương sai mẫu:

$S_A^2=\frac{1}{11}$(28² + 24² + 26² + 25² + 25² + 23² + 20² + 29² + 21² + 24² + 24²) – (24,45)²

≈ 6,65.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu: S_A = $\sqrt{S_A^2}=\sqrt{6,65}\approx 2,58$.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

20; 21; 23; 24; 24; 24; 25; 25; 26; 28; 29.

Vì cỡ mẫu là 11 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q_2A = 24.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 20; 21; 23; 24; 24. Do đó Q_1A = 23.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 25; 25; 26; 28; 29. Do đó Q_3A = 26.

* Đội B:

+ Số trung bình của tuổi: $\overline{x_B}=\frac{32+20+19+21+28+29+21+22+29+19+29}{11}\approx 24,45$

+ Giá trị 29 có tần số lớn nhất (3) nên mốt của mẫu số liệu ở đội B là 29.

+ Phương sai mẫu:

$S_B^2=\frac{1}{11}$(32² + 20² + 19² + 21² + 28² + 29² + 21² + 22² + 29² + 19² + 29²) – (24,45)²

≈ 22,11.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu: S_B = $\sqrt{S_B^2}=\sqrt{22,11}\approx 4,7$.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

19; 19; 20; 21; 21; 22; 28; 29; 29; 29; 32.

Vì cỡ mẫu là 11 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q_2B = 22.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 19; 19; 20; 21; 21. Do đó Q_1B = 20.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 28; 29; 29; 29; 32. Do đó Q_3B = 29.

b) Ta thấy độ lệch chuẩn và phương sai mẫu số liệu ở đội B cao hơn đội A. Điều đó có nghĩa là tuổi của các cầu thủ ở đội B có độ phân tán cao hơn đội A.

Vậy tuổi của các cầu thủ ở đội A đồng đều hơn đội B.