Chứng minh với mọi m, n ta có: m2+n2+14≥ 2mn+m− n.

Giả sử m2+n2+14≥2mn+m−n ⇔m2+n2+14−2mn−m+n≥0 ⇔(m2−2mn+n2)−(m−n)+14≥0 ⇔(m−n)2−(m−n)+14≥0 ⇔(m−n−12)2≥0 đúng với mọi m, n. Dấu bằng xảy ra khi m−n=12. Vậy giả sử đúng, từ đó ta có điều phải chứng minh.

Câu hỏi:

13/07/2024 1,083

Chứng minh với mọi m, n ta có: $m^{2} + n^{2} + \frac{1}{4} \geq 2 m n + m - n$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử $m^{2} + n^{2} + \frac{1}{4} \geq 2 m n + m - n$

$\Leftrightarrow m^{2} + n^{2} + \frac{1}{4} - 2 m n - m + n \geq 0$

$\Leftrightarrow (m^{2} - 2 m n + n^{2}) - (m - n) + \frac{1}{4} \geq 0$

$\Leftrightarrow {(m - n)}^{2} - (m - n) + \frac{1}{4} \geq 0$

$\Leftrightarrow {(m - n - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$ đúng với mọi m, n.

Dấu bằng xảy ra khi $m - n = \frac{1}{2}$ .

Vậy giả sử đúng, từ đó ta có điều phải chứng minh.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD, phân giác của $\hat{B C D}$ cắt BD ở E.

a) Chứng minh: Tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD.

b) Chứng minh AH.ED = HB.EB.

c) Tính diện tích tứ giác AECH.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD, phân giác của cắt BD ở E. a) Chứng minh: Tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD. b) Chứng minh AH.ED = HB.EB. c) Tính diện tích tứ giác AECH. (ảnh 1)

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD.

Suy ra ${\hat{B}}_{1} = {\hat{D}}_{1}$ (hai góc so le trong).

Xét DAHB và DBCD có:

$\hat{B C D} = \hat{A H B} = 90^{o}$

${\hat{B}}_{1} = {\hat{D}}_{1}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆AHB ∆BCD (g.g).

b) Từ câu a: ∆AHB∆BCD suy ra: $\frac{A H}{B C} = \frac{H B}{C D} \Leftrightarrow \frac{A H}{H B} = \frac{B C}{C D}$ (1)

Lại có CE là đường phân giác trong ∆BCD nên $\frac{B C}{C D} = \frac{E B}{E D}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{A H}{H B} = \frac{E B}{E D}$ .

Do đó AH.ED = HB.EB (đpcm)

c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta được:

AB² + AD² = BC²

$B C = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10 (c m)$ .

Ta có $\frac{B C}{C D} = \frac{E B}{E D} \Leftrightarrow \frac{B C}{A B} = \frac{E B}{E D}$

$\Leftrightarrow \frac{B C}{A B + B C} = \frac{E B}{E D + E B}$

$\Leftrightarrow \frac{B C}{A B + B C} = \frac{E B}{E D + E B} = \frac{E B}{B D}$

$\Leftrightarrow \frac{6}{8 + 6} = \frac{E B}{10}$

$\Leftrightarrow E B = \frac{6 . 10}{8 + 6} = \frac{30}{7} (c m)$

Khi đó $\frac{B C}{A B} = \frac{E B}{E D} \Leftrightarrow \frac{6}{8} = \frac{\frac{30}{7}}{E D}$

$\Leftrightarrow E D = \frac{\frac{30}{7} . 8}{6} = \frac{40}{7} (c m)$ .

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ADH vuông tại H, ta được:

AH² + DH² = AD²

$D H = \sqrt{A D^{2} - A H^{2}} = \sqrt{6^{2} - {4,8}^{2}} = 3,6 (c m)$ .

Do đó, EH = ED – DH = $\frac{40}{7} - 3,6 = \frac{74}{35} (c m)$ .

Mặt khác, từ câu a: ∆AHB ∆BCD suy ra: $\frac{A H}{B C} = \frac{A B}{B D}$

$\Leftrightarrow A H = \frac{A B . B C}{B D} = \frac{8 . 6}{10} = 4,8 (c m)$ .

Do đó $S_{A E C H} = 2 . \frac{1}{2} A H . H E = 4,8 . \frac{74}{35} \approx 10,15 (c m^{2})$

Vậy diện tích tứ giác AECH là 10,15 cm².

Câu 2

Cho ∆ABC đồng dạng với ∆HIK theo tỷ số đồng dạng k, ∆HIK đồng dạng với ∆DEF theo tỷ số đồng dạng m. ∆DEF đồng dạng với ∆ABC theo tỷ số đồng dạng là:

A. k.m

B. $\frac{k}{m}$

C. $\frac{1}{k . m}$

D. $\frac{m}{k}$ .

Lời giải

+) ∆ABC ∆HIK theo tỷ số đồng dạng k.

Hay $\frac{A B}{I H} = k$ .

+) ∆HIK ∆DEF theo tỷ số đồng dạng m.

Hay $\frac{I H}{D E} = m$ .

Suy ra ∆ABC ∆DEF theo tỷ số đồng dạng

$\frac{A B}{D E} = \frac{A B}{I H} . \frac{I H}{D E} = k . m$ .

Do đó ∆DEF ∆ABC theo tỷ số đồng dạng $\frac{D E}{A B} = \frac{1}{k . m}$ .

Vậy chọn C.

Câu 3

Cho ∆ABC có AD là phân giác của góc BAC, $D \in B C$ . Biết AB = 6 cm; AC = 15 cm. Khi đó $\frac{B D}{B C}$ bằng:

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{5}{2}$

C. $\frac{2}{7}$

D. $\frac{7}{3}$ .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong hình vẽ, biết: MN // BC, suy ra:

A. $\frac{A N}{N C} = \frac{M N}{B C}$ .

B. $\frac{A M}{M B} = \frac{M N}{B C}$

C. $\frac{M B}{A M} = \frac{B C}{M N}$

D. $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$ .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong một buổi lao động, lớp 8A gồm 40 học sinh chia thành hai tốp: tốp thứ nhất trồng cây và tốp thứ hai làm vệ sinh. Tốp trồng cây đông hơn tốp làm vệ sinh là 8 người. Hỏi tốp trồng cây có bao nhiêu học sinh.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Phương trình 12 – 6x = 5x + 1 có nghiệm là:

A. 2

B. 4

C. 1

D. vô nghiệm.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Chứng minh với mọi m, n ta có: m2+n2+14≥ 2mn+m− n.

Bình luận

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD, phân giác của BCD^ cắt BD ở E. a) Chứng minh: Tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD. b) Chứng minh AH.ED = HB.EB. c) Tính diện tích tứ giác AECH.

Cho ∆ABC đồng dạng với ∆HIK theo tỷ số đồng dạng k, ∆HIK đồng dạng với ∆DEF theo tỷ số đồng dạng m. ∆DEF đồng dạng với ∆ABC theo tỷ số đồng dạng là:

Cho ∆ABC có AD là phân giác của góc BAC, D∈BC. Biết AB = 6 cm; AC = 15 cm. Khi đó BDBC bằng:

Trong hình vẽ, biết: MN // BC, suy ra:

Trong một buổi lao động, lớp 8A gồm 40 học sinh chia thành hai tốp: tốp thứ nhất trồng cây và tốp thứ hai làm vệ sinh. Tốp trồng cây đông hơn tốp làm vệ sinh là 8 người. Hỏi tốp trồng cây có bao nhiêu học sinh.

Phương trình 12 – 6x = 5x + 1 có nghiệm là:

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh với mọi m, n ta có: $m^{2} + n^{2} + \frac{1}{4} \geq 2 m n + m - n$ .

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD, phân giác của $\hat{B C D}$ cắt BD ở E.

a) Chứng minh: Tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD.

b) Chứng minh AH.ED = HB.EB.

c) Tính diện tích tứ giác AECH.

Cho ∆ABC có AD là phân giác của góc BAC, $D \in B C$ . Biết AB = 6 cm; AC = 15 cm. Khi đó $\frac{B D}{B C}$ bằng: