Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6, AC = 8; đường cao AH, phân giác BD. Gọi I là giao điểm của AH và BD.

a) Tính AD, DC.

b) Chứng minh $\frac{IH}{IA}=\frac{AD}{DC}$.

c) Chứng minh AB.BI = BD.HB và tam giác AID cân.

Đổi 30 phút = 1/2 giờ.

Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km) ( ĐK: x > 0).

Thời gian xe khách đi từ A đến B là $\frac{x}{45}$ giờ.

Thời gian xe tải đi từ A đến B là $\frac{x}{40}$ giờ.

Theo bài ra, ta có phương trình: $\frac{x}{40}-\frac{x}{45}=\frac{1}{2}$.

$\iff \frac{9x}{360}-\frac{8x}{360}=\frac{180}{360}$

$\iff$ 9x – 8x = 180

$\iff$ x = 180 (TMĐK)

Vậy quãng đường AB dài 180 km.

Ta có:

x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5);

x² + 11x + 30 = (x + 6)(x + 5);

x² + 13x + 42 = (x + 6)(x + 7).

ĐKXĐ: x ≠ − 4; x ≠ − 5; x ≠ − 6; x ≠ − 7.

Phương trình đã cho trở thành:

$\frac{1}{(x+4)(x+5)}+\frac{1}{(x+5)(x+6)}+\frac{1}{(x+6)(x+7)}=\frac{1}{18}$ 

$\iff \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}$

$\iff \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}$

$\iff \frac{18(x+7)}{18(x+7)(x+4)}-\frac{18(x+4)}{18(x+7)(x+4)}=\frac{(x+7)(x+4)}{18(x+7)(x+4)}$

Þ 18(x + 7) − 18(x + 4) = (x + 7)(x + 4)

$\iff$18(x + 7 − x − 4) = x² + 11x + 28

$\iff$ x² + 11x + 28 = 54

$\iff$ x² + 11x − 26 = 0

$\iff$ x² − 2x + 13x − 26 = 0

$\iff$ x(x – 2) + 13(x – 2) = 0

$\iff$ (x + 13)(x − 2) = 0

$\iff$ x + 13 = 0 hoặc x − 2 = 0

$\iff$ x = −13 (TM) hoặc x = 2 (TM).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {−13; 2}.