Cho y = f(x) là hàm đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ dưới. Hỏi phương trình $f\left(f\left(\cos x\right)-1\right)=0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $\left[0;3\pi \right].$

Từ đồ thị của y = f(x) gọi a < b < c lần lượt là các hoành độ giao điểm của f(x) và trục hoành. Khi đó:

$f\left(f\left(\cos x-1\right)\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\left(\cos x\right)-1=a\in \left(-2;-1\right)\\ f\left(\cos x\right)-1=b\in \left(-1;0\right)\\ f\left(\cos x\right)-1=c\in \left(1;2\right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}f\left(\cos x\right)=1+a\in \left(-1;0\right)\\ f\left(\cos x\right)=1+b\in \left(0;1\right)\\ f\left(\cos x\right)=1+c\in \left(2;3\right)\end{array}\right..$

Cũng từ đồ thị của y = f(x) và chú ý $\cos x\in \left[-1;1\right]$ ta thấy:

- Đường thẳng y = a + 1 cắt đồ thị y = f(x) tại 3 điểm phân biệt nhưng chỉ có một điểm có hoành độ là $m\in \left(-1;0\right)$, suy ra $f\left(\cos x\right)=1+a\iff \cos x=m\in \left(-1;0\right).$ Mà trong đoạn $x\in \left[0;3\pi \right],$ phương trình $\cos x=m\in \left(-1;0\right)$ có 3 nghiệm.

- Đường thẳng y = b + 1 cắt đồ thị y = f(x) tại 3 điểm phân biệt nhưng chỉ có một điểm có hoành độ là $n\in \left(-1;0\right),n\ne m,$ suy ra $f\left(\cos x\right)=1+b\iff \cos x=n\in \left(-1;0\right).$ Mà trong đoạn $x\in \left[0;3\pi \right],$ phương trình $\cos x=n\in \left(-1;0\right)$ có 3 nghiệm.

- Đường thẳng $y=c+1\in \left(2;3\right)$ cắt đồ thị y = (x) tại 1 điểm duy nhất và có hoành độ $p\in \left(2;+\infty \right)$, suy ra $f\left(\cos x\right)=1+c$ vô nghiệm.

Vậy phương trình $f\left(f\left(\cos x\right)-1\right)=0$ có 6 nghiệm trong đoạn $\left[0;3\pi \right].$

Chọn A.