Cho góc nhọn xOy. Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Tia phân giác góc xOy cắt AB tại I.

a) Chứng minh: IA = IB.

b) Gọi C nằm giữa hai điểm O và I. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

c) Giả sử OA = 5 cm, AB = 6 cm. Tính độ dài OI.

a) Xét ΔOIA và ΔOIB có:

OA = OB (gt)

\[{\widehat O_1} = {\widehat O_2}\] (vì OI là tia phân giác \(\widehat {xOy}\))

Cạnh OI chung.

Do đó ΔOIA = ΔOIB (c.g.c)  

Suy ra IA = IB (hai cạnh tương ứng).

b) Xét ΔOCA và ΔOCB có:

OA = OB (gt)

\[{\widehat O_1} = {\widehat O_2}\] (vì OI là tia phân giác \(\widehat {xOy}\))

Cạnh OC chung.

Do đó ΔOCA = ΔOCB (c.g.c)  

Do đó CA = CB (hai cạnh tương ứng)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

c) ΔOBC có OI là đường trung tuyến cũng là đường phân giác, đường cao.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ΔAOI vuông tại I, ta có:

OA² = OI² + IA²                                                                                             

Suy ra: OI² = OA² – IA² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

Do đó: $OI=\sqrt{16}=4(cm)$.