Cho ∆ABC có AB = AC; D là điểm bất kì trên cạnh AB. Tia phân giác của góc A cắt cạnh DC ở M, cắt cạnh BC ở I.

a) Chứng minh CM = BM.

b) Chứng minh AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC.             

c) Từ D kẻ $DH\perp BC(H\in BC)$. Chứng minh $\widehat{BAC}=2\widehat{BDH}$.

a) Chứng minh CM = BM.

Xét $\text{Δ}ABM$ và $\text{Δ}ACM$ có:

AB = AC (gt)

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (vì AM là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)

AM là cạnh chung.

Do đó $\text{Δ}ABM=\text{Δ}ACM(c.g.c).$

Suy ra BM = CM (hai cạnh tương ứng)

b) Chứng minh: AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Xét $\text{Δ}ABI$ và $\text{Δ}ACI$ có:

AB = AC (gt)

$\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (Vì AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$).

AI là cạnh chung.     

Do đó  $\Delta ABI=\Delta ACI(c.g.c).$

Suy ra BI = CI (hai cạnh tương ứng) (1)

Và $\widehat{\text{AIB}}=\widehat{\text{AIC}}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}={180}^o$ (hai góc kề bù).   

Nên $2\widehat{AIB}={180}^o\Rightarrow \widehat{AIB}={90}^o$ 

Suy ra $\text{AI}\perp \text{BC}$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

c) Chứng minh $\widehat{BAC}=2\widehat{BDH}$.

Ta có: $DH\perp BC\left(gt\right)$ 

$\text{AI}\perp \text{BC}$ (cmt)

Suy ra DH // AI (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song).

$\Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{BDH}$ (hai góc đồng vị)                (3)

Ta lại có: $\widehat{BAI}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ (vì AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)        (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{BDH}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}\Rightarrow \widehat{BAC}=2\widehat{BDH}$.

Vậy $\widehat{BAC}=2\widehat{BDH}$.