Lớp 7A có 48 học sinh được xếp loại giỏi, khá, trung bình. Biết rằng số học sinh giỏi, khá, trung bình lần lượt tỉ lệ với 4; 5; 3. Tính số học sinh giỏi, khá và trung bình của lớp 7A.

Ta có $\sqrt{x}=4$ suy ra x = 4² = 16.

a) Chứng minh: AD = BC.

Xét ∆OAD và ∆OBC có:

OA = OB (gt);

$\widehat{AOD}$ chung;

OD = OC (gt)

Do đó ∆OAD = ∆OBC (c.g.c)

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng)

b) Chứng minh: ∆EAC = ∆EBD.

Vì ∆OAD = ∆OBC (câu a)

Nên ${\widehat{A}}_2={\widehat{B}}_2$ (hai góc tương ứng)

Mà ${\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2={180}^o$, ${\widehat{B}}_1+{\widehat{B}}_2={180}^o$ (kề bù)

Do đó ${\widehat{A}}_1={\widehat{B}}_1$.

Mặt khác, OA = OB, OC = OD

Suy ra OC – OA = OD – OB

Do đó AC = BD

Xét ∆EAC và ∆EBD có:

${\widehat{A}}_1={\widehat{B}}_1$ (cmt);

AC = BD (cmt);

$\widehat{OCB}=\widehat{ODA}$ (vì ∆OAD = ∆OBC)

Do đó ∆EAC = ∆EBD (g.c.g).

c) Chứng minh: OE là tia phân giác của góc xOy.

Vì ∆EAC = ∆EBD (câu b)

Nên AE = BE (hai cạnh tương ứng).

Xét ∆OAE và ∆OBE có:

OA = OB (gt);

Cạnh OE chung;

AE = BE (cmt)

Do đó ∆OAE và ∆OBE (c.c.c)

Suy ra $\widehat{AOE}=\widehat{BOE}$ (hai góc tương ứng)

Hay OE là phân giác của góc xOy.