Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(– 2; – 1).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2 - 3; - 1 - 0} \right) = \left( { - 5; - 1} \right)\).

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC.

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận vectơ \(\overrightarrow {BC} \) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là – 5(x – 1) – 1(y – 2) = 0 hay 5x + y – 7 = 0.

b) Gọi M là trung điểm của AC, khi đó tọa độ của điểm M là

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 2} \right)}}{2} = \frac{{ - 1}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{{2 + \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Hay M\(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

Đường trung tuyến kẻ từ B chính là đường thẳng BM.

Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \left( { - \frac{1}{2} - 3;\frac{1}{2} - 0} \right) = \left( { - \frac{7}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

Chọn \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {BM} = \left( { - 7;\,\,1} \right)\).

Đường trung tuyến BM đi qua B(3; 0) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 7;\,\,1} \right)\), do đó phương trình tham số của đường thẳng BM là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 7t\\y = t\end{array} \right.\).