B. Bài tập

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: \(3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0\) và ∆₂: 6x + 2y\( - \sqrt 6 \) = 0.

b) d₁: x \( - \sqrt 3 y\) + 2 = 0 và d₂: \(\sqrt 3 \)x – 3y + 2 = 0.

c) m₁: x – 2y + 1 = 0 và m₂: 3x + y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng ∆₁: \(3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0\)có vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _1} = \left( {3\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).

Đường thẳng ∆₂: 6x + 2y\( - \sqrt 6 \) = 0 có vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _2} = \left( {6;\,\,2} \right)\).

Ta có: \({\overrightarrow n _1} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{\overrightarrow n _2}\) nên hai vectơ \({\overrightarrow n _1}\) và \({\overrightarrow n _2}\) cùng phương, do đó hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, điểm A\(\left( {0;\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)\) vừa thuộc ∆₁ vừa thuộc ∆₂.

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trùng nhau.

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁: x \( - \sqrt 3 y\) + 2 = 0 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\)và của d₂: \(\sqrt 3 \)x – 3y + 2 = 0 là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\sqrt 3 ; - 3} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_2}} = \sqrt 3 \overrightarrow {{n_1}} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương, do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, điểm B(– 2; 0) thuộc d₁ nhưng không thuộc d₂.

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau.

c) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\3x + y - 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 6y + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x + y - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được: 7y – 5 = 0 \( \Leftrightarrow y = \frac{5}{7}\).

Thay vào (1) ta được: \(3x - 6.\frac{5}{7} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{7}\).

Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất \(\left( {\frac{3}{7};\frac{5}{7}} \right)\).

Vậy hai đường thẳng m₁ và m₂ cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( {\frac{3}{7};\frac{5}{7}} \right)\).