b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\3x - y - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\6x - 2y - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: 5x – 5 = 0 ⇔ x = 1.

Thay x = 1 vào (1) ta được: 1 – 2y + 3 = 0 ⇔ 2y = 4 ⇔ y = 2.

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (1; 2).

c) Theo câu a, điểm M(1; 2) thuộc cả hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ nên M là giao điểm của hai đường thẳng này.

Do đó ta thấy tọa độ giao điểm của ∆₁ và ∆₂ giống với nghiệm của hệ phương trình ở câu b.

Câu 3

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: x + 4y – 3 = 0 và ∆₂: x – 4y – 3 = 0;

b) ∆₁: x + 2y – \(\sqrt 5 \)= 0 và ∆₂: 2x + 4y – \(3\sqrt 5 \) = 0.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - 4y - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (1) cộng vế theo vế với (2) ta được: 2x – 6 = 0 ⇔ x = 3.

Thay x = 3 vào (1) ta được: 3 + 4y – 3 = 0 ⇔ 4y = 0 ⇔ y = 0.

Do đó hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 0).

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại điểm M(3; 0).

b) Đường thẳng ∆₁: x + 2y –\(\sqrt 5 \)= 0 có vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _1} = \left( {1;\,\,2} \right)\).

Đường thẳng ∆₂: 2x + 4y – \(3\sqrt 5 \) = 0 có vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _2} = \left( {2;\,\,4} \right)\).

Ta thấy: \({\overrightarrow n _2} = 2{\overrightarrow n _1}\) nên hai vectơ này cùng phương.

Do đó hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, ta lại có điểm A(\(\sqrt 5 \); 0) thuộc đường thẳng ∆₁ nhưng không thuộc đường thẳng ∆₂ nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song với nhau.

Câu 4

Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, trong đó có hai cặp góc đối đỉnh với nhau. Hai góc đối đỉnh thì có số đo bằng nhau. Một cặp góc đối đỉnh là góc tù thì cặp còn lại là góc nhọn.

Media VietJack

Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại A như hình trên. Khi đó ta có:

+) \({\widehat A_1} = {\widehat A_3}\) (2 góc đối đỉnh, đây là hai góc tù);

+) \({\widehat A_2} = {\widehat A_4}\) (2 góc đối đỉnh, đây là hai góc nhọn).

Câu 5

Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆₁, ∆₂ tương ứng có các vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _1},\,\,{\overrightarrow n _2}\). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

a) góc φ và góc \(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\);

b) cosφ và cos\(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\).

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Quan sát Hình 7.7, ta thấy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là góc φ, góc này bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ \({\overrightarrow n _1}\) và \({\overrightarrow n _2}\).

+) Với trường hợp góc φ và góc \(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\) bằng nhau thì ta có: cosφ = cos\(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\);

+) Với trường hợp góc φ và góc \(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\) bù nhau thì ta có: cosφ = – cos\(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\).

Câu 6