Câu hỏi:

13/07/2024 3,114

Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.

a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.

b) Lập phương trình đường thẳng ∆0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆.

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α và α∆0.

d) Gọi M là giao điểm của ∆0 với nửa đường tròn đơn vị và x0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x0 và a. Từ đó, chứng minh rằng tanα = a.

Media VietJack

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Phương trình trục hoành Ox: y = 0.

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\y = ax + b\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: ax + b = 0 x = \( - \frac{b}{a}\) (do a ≠ 0).

Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất \(\left( { - \frac{b}{a};\,0} \right)\) nên ∆ và trục hoành cắt nhau tại giao điểm có tọa độ \(\left( { - \frac{b}{a};\,0} \right)\).

b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\, - 1} \right)\).

Do đường thẳng ∆0 song song hoặc trùng với ∆ nên ta chọn vectơ \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của ∆0.

Đường thẳng ∆0 đi qua điểm O(0; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\, - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó phương trình đường thẳng ∆0 là: a(x – 0) – (y – 0) = 0 hay ax – y = 0 hay y = ax.

c) Khi ∆ và ∆0 trùng nhau thì α và α∆0 trùng nhau nên α = α∆0.

Khi ∆ và ∆0 song song thì α = α∆0 (do hai góc ở vị trí đồng vị).

Vậy α = α∆0.

d) Vì M thuộc đường thẳng ∆0 nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng ∆0 nên khi có hoành độ x0 thì tung độ của M là y0 = ax0.

Ta có tanα∆0 = tan\(\widehat {xOM}\) = \(\frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = \frac{{a{x_0}}}{{{x_0}}} = a\) (theo định nghĩa giá trị lượng giác)

Do α = α∆0 nên tanα = tanα∆0 = a.

Vậy tanα = a.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2 - 3; - 1 - 2} \right) = \left( { - 5; - 3} \right)\).

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là \(\overrightarrow u = - \overrightarrow {BC} = \left( {5;\,3} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 5} \right)\).

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 5} \right)\), do đó phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 hay 3x – 5y + 1 = 0.

Khi đó khoảng cách từ A đến BC là:

d(A, BC) = \(\frac{{\left| {3.1 - 5.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {34} }} = \frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\) .

Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là h = \(\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\).

b) Ta có: BC = \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34} \).

Diện tích tam giác ABC là:

S = \(\frac{1}{2}h.BC\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}.\sqrt {34} = 2\) (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 2 đvdt.

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:

Media VietJack

Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m, BC = AD = 15 m.

Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m nên A có tọa độ là (0; 12).

Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m nên C có tọa độ là (15; 0).

Ta có: DC Ox (do DC BC), DA Oy (do DA AB) và DC = 12 m, DA = 15 m nên điểm D có tọa độ là (15; 12).

Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại có AE = 5 m, do đó điểm E có tọa độ là (5; 12).

Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 m, lại có CF = 6 m, do đó điểm F có tọa độ là (15; 6).

Vậy A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6).

Ta có: \[\overrightarrow {EF} = \left( {15 - 5;6 - 12} \right) = \left( {10; - 6} \right)\].

Chọn vectơ \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} = \left( {5; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương của đường thẳng EF thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,5} \right)\).

Đường thẳng EF đi qua điểm E(5; 12) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,5} \right)\), do đó phương trình đường thẳng EF là: 3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0.

b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ B đến EF là:

\(d\left( {B,\,EF} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 5.0 - 75} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{{75}}{{\sqrt {34} }}\)≈ 12,9 m.

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay