Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 và ∆₂: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0;

b) d₁: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và d₂: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\)                 (t, s là các tham số).

Hướng dẫn giải

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;\,\,1} \right)\) và của ∆₂: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0 là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\sqrt 3 } \right)\).

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Ta có:

cosφ = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2.2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó, góc giữa ∆₁ và ∆₂ là φ = 30°.

b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;\,\,4} \right)\), của đường thẳng d₂ là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right)\), của đường thẳng d₂ là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;\,1} \right)\).

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂. Ta có:

cosα = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {4.3 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {20} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó, góc giữa d₁ và d₂ là α = 45°.