Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) ∆1: ( sqrt 3 x ) + y – 4 = 0 và ∆2: x + ( sqrt 3 y ) + 3 = 0; b) d1: ( left { begin{array}{l}x = - 1 + 2t y = 3 + 4t end{array} right. ) và d2: ( left { begi...

Hướng dẫn giải a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆1: ( sqrt 3 x ) + y – 4 = 0 là ( overrightarrow {{n_1}} = left( { sqrt 3 ; , ,1} right) ) và của ∆2: x + ( sqrt 3 y ) + 3 = 0 là ( overrightarrow {{n_2}} = left( {1; , sqrt 3 } right) ). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Ta có: cosφ = ( left| { cos left( { overrightarrow {{n_1}} , , , overrightarrow {{n_2}} } right)} right| ) ( = frac{{ left| { overrightarrow {{n_1}} . , , overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{ left| { overrightarrow {{n_1}} } right|. , , left| { overrightarrow {{n_2}} } right|}} ) ( = frac{{ left| { sqrt 3 .1 + 1. sqrt 3 } right|}}{{ sqrt {{{ left( { sqrt 3 } right)}^2} + {1^2}} . sqrt {{1^2} + {{ left( { sqrt 3 } right)}^2}} }} = frac{{2 sqrt 3 }}{{2.2}} = frac{{ sqrt 3 }}{2} ). Do đó, góc giữa ∆1 và ∆2 là φ = 30°. b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 là ( overrightarrow {{u_1}} = left( {2; , ,4} right) ), của đường thẳng d2 là ( overrightarrow {{u_2}} = left( {1; , - 3} right) ). Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là ( overrightarrow {{n_1}} = left( {4; - 2} right) ), của đường thẳng d2 là ( overrightarrow {{n_2}} = left( {3; ,1} right) ). Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2. Ta có: cosα = ( left| { cos left( { overrightarrow {{n_1}} , , , overrightarrow {{n_2}} } right)} right| ) ( = frac{{ left| { overrightarrow {{n_1}} . , , overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{ left| { overrightarrow {{n_1}} } right|. , , left| { overrightarrow {{n_2}} } right|}} ) ( = frac{{ left| {4.3 + left( { - 2} right).1} right|}}{{ sqrt {{4^2} + {{ left( { - 2} right)}^2}} . sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = frac{{10}}{{ sqrt {20} . sqrt {10} }} = frac{{ sqrt 2 }}{2} ). Do đó, góc giữa d1 và d2 là α = 45°.

Câu hỏi:

13/07/2024 6,930

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 và ∆₂: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0;

b) d₁: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và d₂: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\) (t, s là các tham số).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;\,\,1} \right)\) và của ∆₂: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0 là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\sqrt 3 } \right)\).

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Ta có:

cosφ = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2.2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó, góc giữa ∆₁ và ∆₂ là φ = 30°.

b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;\,\,4} \right)\), của đường thẳng d₂ là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right)\), của đường thẳng d₂ là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;\,1} \right)\).

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂. Ta có:

cosα = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {4.3 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {20} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó, góc giữa d₁ và d₂ là α = 45°.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2 - 3; - 1 - 2} \right) = \left( { - 5; - 3} \right)\).

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là \(\overrightarrow u = - \overrightarrow {BC} = \left( {5;\,3} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 5} \right)\).

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 5} \right)\), do đó phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 hay 3x – 5y + 1 = 0.

Khi đó khoảng cách từ A đến BC là:

d(A, BC) = \(\frac{{\left| {3.1 - 5.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {34} }} = \frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\) .

Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là h = \(\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\).

b) Ta có: BC = \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34} \).

Diện tích tam giác ABC là:

S = \(\frac{1}{2}h.BC\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}.\sqrt {34} = 2\) (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 2 đvdt.

Câu 2

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ?

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:

Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m, BC = AD = 15 m.

Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m nên A có tọa độ là (0; 12).

Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m nên C có tọa độ là (15; 0).

Ta có: DC ⊥ Ox (do DC ⊥ BC), DA ⊥ Oy (do DA ⊥ AB) và DC = 12 m, DA = 15 m nên điểm D có tọa độ là (15; 12).

Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại có AE = 5 m, do đó điểm E có tọa độ là (5; 12).

Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 m, lại có CF = 6 m, do đó điểm F có tọa độ là (15; 6).

Vậy A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6).

Ta có: \[\overrightarrow {EF} = \left( {15 - 5;6 - 12} \right) = \left( {10; - 6} \right)\].

Chọn vectơ \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} = \left( {5; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương của đường thẳng EF thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,5} \right)\).

Đường thẳng EF đi qua điểm E(5; 12) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,5} \right)\), do đó phương trình đường thẳng EF là: 3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0.

b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ B đến EF là:

\(d\left( {B,\,EF} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 5.0 - 75} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{{75}}{{\sqrt {34} }}\)≈ 12,9 m.

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt.

Câu 3