Câu hỏi:

13/07/2024 2,576

Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;\,b} \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).

a) Chứng minh rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

b) Giả sử H có tọa độ (x1; y1). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} \) = a(x0 – x1) + b(y0 – y1) = ax0 + by0 + c.

c) Chứng minh rằng \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Media VietJack

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Do H là hình chiếu của M lên ∆ nên MH ∆.

Vectơ \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của ∆ nên giá của vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với ∆.

Khi đó đường thẳng MH song song hoặc trùng với giá của vectơ \(\overrightarrow n \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {HM} \) và \(\overrightarrow n \) cùng phương.

Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {HM} \) và \(\overrightarrow n \)cùng hướng hoặc ngược hướng.

+) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {HM} \) và \(\overrightarrow n \)cùng hướng thì \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

+) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {HM} \) và \(\overrightarrow n \)ngược hướng thì \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = - \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right| = - \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

b) Vì H thuộc ∆ nên tọa độ của H thỏa mãn phương trình ∆, thay tọa độ của H vào phương trình ∆ ta được: ax1 + by1 + c = 0 c = – ax1 – by1      (1).

Ta lại có: \(\overrightarrow {HM} = \left( {{x_0} - {x_1};{y_0} - {y_1}} \right)\).

Suy ra: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right)\)= ax0 + by0 – ax1 – by1                  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right)\)= ax0 + by0 + c.

c) Theo câu a) ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

Theo câu b) ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} \) = ax0 + by0 + c.

Suy ra: |ax0 + by0 + c| = \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

Vậy \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2 - 3; - 1 - 2} \right) = \left( { - 5; - 3} \right)\).

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là \(\overrightarrow u = - \overrightarrow {BC} = \left( {5;\,3} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 5} \right)\).

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 5} \right)\), do đó phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 hay 3x – 5y + 1 = 0.

Khi đó khoảng cách từ A đến BC là:

d(A, BC) = \(\frac{{\left| {3.1 - 5.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {34} }} = \frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\) .

Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là h = \(\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\).

b) Ta có: BC = \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34} \).

Diện tích tam giác ABC là:

S = \(\frac{1}{2}h.BC\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}.\sqrt {34} = 2\) (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 2 đvdt.

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:

Media VietJack

Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m, BC = AD = 15 m.

Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m nên A có tọa độ là (0; 12).

Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m nên C có tọa độ là (15; 0).

Ta có: DC Ox (do DC BC), DA Oy (do DA AB) và DC = 12 m, DA = 15 m nên điểm D có tọa độ là (15; 12).

Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại có AE = 5 m, do đó điểm E có tọa độ là (5; 12).

Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 m, lại có CF = 6 m, do đó điểm F có tọa độ là (15; 6).

Vậy A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6).

Ta có: \[\overrightarrow {EF} = \left( {15 - 5;6 - 12} \right) = \left( {10; - 6} \right)\].

Chọn vectơ \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} = \left( {5; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương của đường thẳng EF thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,5} \right)\).

Đường thẳng EF đi qua điểm E(5; 12) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,5} \right)\), do đó phương trình đường thẳng EF là: 3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0.

b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ B đến EF là:

\(d\left( {B,\,EF} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 5.0 - 75} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{{75}}{{\sqrt {34} }}\)≈ 12,9 m.

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay