Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;\,b} \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).

a) Chứng minh rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

b) Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} \) = a(x₀ – x₁) + b(y₀ – y₁) = ax₀ + by₀ + c.

c) Chứng minh rằng \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Hướng dẫn giải

a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:

Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m, BC = AD = 15 m.

Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m nên A có tọa độ là (0; 12).

Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m nên C có tọa độ là (15; 0).

Ta có: DC ⊥ Ox (do DC ⊥ BC), DA ⊥ Oy (do DA ⊥ AB) và DC = 12 m, DA = 15 m nên điểm D có tọa độ là (15; 12).

Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại có AE = 5 m, do đó điểm E có tọa độ là (5; 12).

Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 m, lại có CF = 6 m, do đó điểm F có tọa độ là (15; 6).

Vậy A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6).

Ta có: \[\overrightarrow {EF} = \left( {15 - 5;6 - 12} \right) = \left( {10; - 6} \right)\].

Chọn vectơ \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} = \left( {5; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương của đường thẳng EF thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,5} \right)\).

Đường thẳng EF đi qua điểm E(5; 12) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,5} \right)\), do đó phương trình đường thẳng EF là: 3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0.

b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ B đến EF là:

\(d\left( {B,\,EF} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 5.0 - 75} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{{75}}{{\sqrt {34} }}\)≈ 12,9 m.

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt.

Hướng dẫn giải

a) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2 - 3; - 1 - 2} \right) = \left( { - 5; - 3} \right)\).

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là \(\overrightarrow u = - \overrightarrow {BC} = \left( {5;\,3} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 5} \right)\).

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 5} \right)\), do đó phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 hay 3x – 5y + 1 = 0.

Khi đó khoảng cách từ A đến BC là:

d(A, BC) = \(\frac{{\left| {3.1 - 5.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {34} }} = \frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\) .

Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là h = \(\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\).

b) Ta có: BC = \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34} \).

Diện tích tam giác ABC là:

S = \(\frac{1}{2}h.BC\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}.\sqrt {34} = 2\) (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 2 đvdt.