Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm chính giữa của cột trụ, trục Oy đi qua điểm chính giữa, hai bên cột lần lượt nằm về hai phía của trục Oy (như hình vẽ).

Phương trình hypebol (H) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (với a, b > 0).

Theo bài ra ta có: A₁A₂ = 0,8 m; AB = EH = 1 m. Khoảng cách giữa HE và AB là 6 m.

(H) cắt trục hoành tại hai điểm A₁, A₂, ta xác định được tọa độ 2 điểm là: A₁(− 0,4; 0) và A₂(0,4; 0).

Thay tọa độ A₂ vào phương trình (H) ta được: \(\frac{{{{\left( {0,4} \right)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Suy ra a = 0,4 (do a > 0).

Ta xác định được tọa độ điểm E là E(0,5; 3).

(H) đi qua điểm có tọa độ E(0,5; 3) nên: \(\frac{{{{\left( {0,5} \right)}^2}}}{{{{\left( {0,4} \right)}^2}}} - \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

⇔ b² = 16 ⇒ b = 4 (do b > 0).

Vậy phương trình (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {0,4} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\) hay \(\frac{{{x^2}}}{{0,16}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Gọi F là điểm thuộc hypebol mà cột có độ cao 5 m. Ở độ cao 5 m thì khoảng cách từ vị trí F đó đến trục hoành là 2 m, tương ứng ta có tung độ điểm F là y = 2, ta cần tìm hoành độ của F.

Thay y = 2 vào phương trình (H) ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{0,16}} - \frac{{{2^2}}}{{16}} = 1\).

 ⇔ x² = 0,2 => x ≈ 0,45.