Cho hypebol có phương trình: ( frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 ). a) Tìm các giao điểm A1, A2 của hypebol với trục hoành (hoành độ của A1 nhỏ hơn của A2). b) Chứng minh rằng, nếu...

Hướng dẫn giải a) A1 thuộc trục hoành nên y = 0, lại có A1 thuộc hypebol, do đó ta có: ( frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 ) ⇔ x2 = a2 ⇔ x = ± a Do hoành độ của A1 nhỏ hơn hoành độ của A2 nên ta xác định được tọa độ của hai điểm A1 và A2 là: A1(− a; 0) và A2(a; 0). b) Điểm M(x; y) thuộc hypebol nên ta có: ( frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 ). Ta cần chứng minh: x2 ≥ a2 thì yêu cầu của bài toán được giải quyết. Giả sử: x2 ≥ a2 ( Leftrightarrow frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} ge 1 ) (chia cả 2 vế cho a2). Vì ( frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 ) nên ( frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 + frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} ge 1 ) (do ( frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} ge 0 )) Do đó: ( frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} ge 1 ) luôn đúng. Suy ra x2 ≥ a2. +) Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol thì hoành độ x < 0 mà x2 ≥ a2 nên x ≤ − a. +) Nếu M thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol thì hoành độ x > 0 mà x2 ≥ a2 nên x ≥ a. c) Gọi điểm M1(x1; y1) thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol nên hoành độ x1 < 0, M2(x2; y2) thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol nên hoành độ x2 > 0. Theo câu b ta có: x1 ≤ − a và x2 ≥ a nên |x1| + |x2| ≥ a + a = 2a. Do x1 < 0 và x2 > 0 nên x2 − x1 = |x2| + |x1| ≥ a + a = 2a. Ta có: M1M2 = ( sqrt {{{ left( {{x_2} - {x_1}} right)}^2} + {{ left( {{y_2} - {y_1}} right)}^2}} ); A1A2 = ( sqrt {{{ left( {a - left( { - a} right)} right)}^2} + {{ left( {0 - 0} right)}^2}} = sqrt {{{ left( {2a} right)}^2}} ) Lại có: (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ≥ (|x2| + |x1|)2 + 0 ≥ (2a)2. Nên (M1M2)2 ≥ (A1A2)2 Suy ra M1M2 ≥ A1A2. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M1 trùng A1 và M2 trùng A2. Vậy để M1M2 nhỏ nhất thì M1 trùng A1 và M2 trùng A2 hay M1(− a; 0) và M2(a; 0).

Câu hỏi:

11/07/2024 5,632

Cho hypebol có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của hypebol với trục hoành (hoành độ của A₁nhỏ hơn của A₂).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ − a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

c) Tìm các điểm M₁, M₂ tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để M₁M₂ nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chương 7 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) A₁ thuộc trục hoành nên y = 0, lại có A₁ thuộc hypebol, do đó ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

⇔ x² = a²⇔ x = ± a

Do hoành độ của A₁ nhỏ hơn hoành độ của A₂ nên ta xác định được tọa độ của hai điểm A₁ và A₂ là: A₁(− a; 0) và A₂(a; 0).

b) Điểm M(x; y) thuộc hypebol nên ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Ta cần chứng minh: x² ≥ a² thì yêu cầu của bài toán được giải quyết.

Giả sử: x² ≥ a² \( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \ge 1\) (chia cả 2 vế cho a²).

Vì \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) nên \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 1\) (do \(\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 0\))

Do đó: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \ge 1\) luôn đúng.

Suy ra x² ≥ a².

+) Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol thì hoành độ x < 0 mà x² ≥ a²nên x ≤ − a.

+) Nếu M thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol thì hoành độ x > 0 mà x² ≥ a²nên x ≥ a.

c) Gọi điểm M₁(x₁; y₁) thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol nên hoành độ x₁ < 0, M₂(x₂; y₂) thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol nên hoành độ x₂ > 0.

Theo câu b ta có: x₁ ≤ − a và x₂ ≥ a nên |x₁| + |x₂| ≥ a + a = 2a.

Do x₁ < 0 và x₂ > 0 nên x₂ − x₁ = |x₂| + |x₁| ≥ a + a = 2a.

Ta có: M₁M₂ = \(\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \); A₁A₂ = \(\sqrt {{{\left( {a - \left( { - a} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}} \)

Lại có: (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² ≥ (|x₂| + |x₁|)² + 0 ≥ (2a)².

Nên (M₁M₂)² ≥ (A₁A₂)²

Suy ra M₁M₂ ≥ A₁A₂.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.

Vậy để M₁M₂ nhỏ nhất thì M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂hay M₁(− a; 0) và M₂(a; 0).

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

B – Tự luận

Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; – 1), B(3; 5), C(– 2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án » 12/07/2024 19,261

Câu 2:

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?

\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1

\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{6} = 1

\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{1} = 1

\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1} = 1

Xem đáp án » 25/06/2022 15,877

Câu 3:

Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1 m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Xem đáp án » 12/07/2024 11,735

Câu 4:

Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0.

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (C).

b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.

Xem đáp án » 12/07/2024 11,527

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(– 1; 0) và B(3; 1).

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.

Xem đáp án » 12/07/2024 11,371

Câu 6:

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\).

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của (E) với trục hoành và các giao điểm B₁, B₂ của (E) với trục tung. Tính A₁A₂, B₁B₂.

b) Xét một điểm bất kì M(x₀; y₀) thuộc (E).

Chứng minh rằng, b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a² và b ≤ OM ≤ a.

Chú ý: A₁A₂, B₁B₂ tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.

Xem đáp án » 12/07/2024 6,778

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Bình luận

B – Tự luận Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; – 1), B(3; 5), C(– 2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?

Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1 m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0. a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (C). b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(– 1; 0) và B(3; 1). a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B. b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

B – Tự luận

Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; – 1), B(3; 5), C(– 2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.

Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0.

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (C).

b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.