Câu hỏi:
12/07/2024 3,513
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\).
a) Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2, B1B2.
b) Xét một điểm bất kì M(x0; y0) thuộc (E).
Chứng minh rằng, b2 ≤ x02 + y02 ≤ a2 và b ≤ OM ≤ a.
Chú ý: A1A2, B1B2 tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\).
a) Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2, B1B2.
b) Xét một điểm bất kì M(x0; y0) thuộc (E).
Chứng minh rằng, b2 ≤ x02 + y02 ≤ a2 và b ≤ OM ≤ a.
Chú ý: A1A2, B1B2 tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.
Câu hỏi trong đề:
Bài tập Cuối chương 7 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a)
+) Có A1 thuộc trục hoành Ox nên y = 0, hơn nữa A1 lại thuộc (E) nên \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
⇔ x2 = a2
⇔ x = ± a. Do đó, .
Chọn A1 nằm bên trái trục Oy nên có hoành độ âm. Vậy tọa độ A1(– a; 0).
Chọn A2 nằm bên phải trục Oy nên có hoành độ dương. Vậy tọa độ A2(a; 0).
Suy ra độ dài A1A2 = \(\sqrt {{{\left( {a - \left( { - a} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}} = 2a\) (do a > 0).
+) B1 thuộc trục tung Oy nên x = 0, hơn nữa B1 lại thuộc (E) nên \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
⇔ y2 = b2
⇔ y = ± b. Do đó, .
Chọn B1 nằm phía dưới trục Ox nên có tung độ âm. Vậy tọa độ B1(0; – b).
Chọn B2 nằm phía trên trục Ox nên có tung độ dương. Vậy tọa độ B2(0; b).
Suy ra độ dài B1B2 = \(\sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {b - \left( { - b} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2b} \right)}^2}} \)= 2b (do b > 0).
Vậy A1A2 = 2a, B1B2 = 2b.
b) Vì M(x0; y0) thuộc (E) nên ta có tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó:
\(\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1\).
+) Giả sử b2 ≤ x02 + y02, chia cả hai vế cho b2 > 0 ta được:
\(\frac{{{b^2}}}{{{b^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)
\( \Leftrightarrow 1 \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}}\)
Do a > b > 0 nên a2 > b2 > 0, và x02 ≥ 0 với mọi x0 nên \(\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}}\) luôn đúng.
Vậy b2 ≤ x02 + y02.
+) Chứng minh tương tự ta được: x02 + y02 ≤ a2.
Vậy b2 ≤ x02 + y02 ≤ a2 (*).
+) Ta lại có: OM = \(\sqrt {x_0^2 + y_0^2} \)
Từ (*) ta suy ra: \(b \le \sqrt {x_0^2 + y_0^2} \le a\)
Do đó: b ≤ OM ≤ a.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?
Xem đáp án »
25/06/2022
12,172
Câu 2:
Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1 m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
Xem đáp án »
12/07/2024
7,810
Câu 3:
Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0.
a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (C).
b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.
Xem đáp án »
12/07/2024
5,350
Câu 4:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(– 1; 0) và B(3; 1).
a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(– 1; 0) và B(3; 1).
a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.
Xem đáp án »
12/07/2024
5,149
Câu 5:
B – Tự luận
Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; – 1), B(3; 5), C(– 2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.
B – Tự luận
Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; – 1), B(3; 5), C(– 2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.
Xem đáp án »
12/07/2024
4,839
Câu 6:
Cho hypebol có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
a) Tìm các giao điểm A1, A2 của hypebol với trục hoành (hoành độ của A1 nhỏ hơn của A2).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ − a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.
c) Tìm các điểm M1, M2 tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để M1M2 nhỏ nhất.
Cho hypebol có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
a) Tìm các giao điểm A1, A2 của hypebol với trục hoành (hoành độ của A1 nhỏ hơn của A2).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ − a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.
c) Tìm các điểm M1, M2 tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để M1M2 nhỏ nhất.
Xem đáp án »
11/07/2024
3,740
về câu hỏi!