Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\).

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của (E) với trục hoành và các giao điểm B₁, B₂ của (E) với trục tung. Tính A₁A₂,  B₁B₂.

b) Xét một điểm bất kì M(x₀; y₀) thuộc (E).

Chứng minh rằng, b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a² và b ≤ OM ≤ a.

Chú ý: A₁A₂, B₁B₂ tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.

Hướng dẫn giải

a)

+) Có A₁ thuộc trục hoành Ox nên y = 0, hơn nữa A₁ lại thuộc (E) nên \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\). 

⇔ x² = a²

Chọn A₁ nằm bên trái trục Oy nên có hoành độ âm. Vậy tọa độ A₁(– a; 0).

Chọn A₂ nằm bên phải trục Oy nên có hoành độ dương. Vậy tọa độ A₂(a; 0). 

Suy ra độ dài A₁A₂ = \(\sqrt {{{\left( {a - \left( { - a} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}} = 2a\) (do a > 0).

+) B₁ thuộc trục tung Oy nên x = 0, hơn nữa B₁ lại thuộc (E) nên \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). 

⇔ y² = b²

Chọn B₁ nằm phía dưới trục Ox nên có tung độ âm. Vậy tọa độ B₁(0; – b).

Chọn B₂ nằm phía trên trục Ox nên có tung độ dương. Vậy tọa độ B₂(0; b). 

Suy ra độ dài B₁B₂ = \(\sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {b - \left( { - b} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2b} \right)}^2}} \)= 2b (do b > 0).

Vậy A₁A₂ = 2a, B₁B₂ = 2b.

b) Vì M(x₀; y₀) thuộc (E) nên ta có tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó:

\(\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1\).

+) Giả sử b² ≤ x₀² + y₀², chia cả hai vế cho b² > 0 ta được:

\(\frac{{{b^2}}}{{{b^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)

\( \Leftrightarrow 1 \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}}\)

Do a > b > 0 nên a² > b² > 0, và x₀² ≥ 0 với mọi x₀ nên \(\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}}\) luôn đúng.

Vậy b² ≤ x₀² + y₀².

+) Chứng minh tương tự ta được: x₀² + y₀² ≤ a².

Vậy b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a²     (*).

+) Ta lại có: OM = \(\sqrt {x_0^2 + y_0^2} \)

Từ (*) ta suy ra: \(b \le \sqrt {x_0^2 + y_0^2} \le a\)

Do đó: b ≤ OM ≤ a.