Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(5f\left( {{{\cos }^2}x - \cos x} \right) = 1\) là

Đáp án D

Đặt \(t = \cos x{\rm{ }}\left( { - 1 \le t \le 1} \right),{\rm{ u}} = {t^2} - t\).

Lập bảng biến thiên của hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} - t,{\rm{ t}} \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Ta có phương trình \(f\left( u \right) = \frac{1}{5}\) (1). Dựa vào bảng biến thiên đề bài cho thì (1) có 4 nghiệm là

\(\left[ \begin{array}{l}u = a \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right)\\u = b \in \left( { - \frac{1}{4};0} \right)\\u = c \in \left( {0;2} \right)\\u = d \in \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

Với \(u = a\) thì phương trình vô nghiệm.

Với \(u = b\) thì phương trình có hai nghiệm \(t = {t_1} \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right);{\rm{ }}t = {t_2} \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\).

Với \(u = c\) thì phương trình có một nghiệm \(t = {t_3} \in \left( { - 1;0} \right)\).

Với \(u = d\) thì phương trình vô nghiệm.

Với \(t = {t_1}\) thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right],{\rm{ }}\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right],{\rm{ }}\left[ {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{11\pi }}{6}} \right]\), \(\left[ {\frac{{7\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

Với \(t = {t_2}\) thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{3};0} \right],{\rm{ }}\left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right],{\rm{ }}\left[ {\frac{{11\pi }}{6};2\pi } \right],{\rm{ }}\left[ {2\pi \frac{{7\pi }}{3}} \right]\).

Với \(t = {t_3}\) thì phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right],{\rm{ }}\left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).

Vậy phương trình ban đầu có tất cả 10 nghiệm.