Cho đồ thị \[\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2}.\] Có bao nhiêu số nguyên \[b \in \left( { - 10;10} \right)\] để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm \[B\left( {0;b} \right)?\]

Đáp án D

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {{x_0};x_0^3 - 3{\rm{x}}_0^2} \right)\) có dạng: \(y = \left( {3{\rm{x}}_0^2 - 6{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{\rm{x}}_0^2\)

Do tiếp tuyến đi qua điểm \(\left( {0;b} \right) \Rightarrow b = \left( {3{\rm{x}}_0^2 - 6{{\rm{x}}_0}} \right)\left( { - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{\rm{x}}_0^2 = - 2{\rm{x}}_0^3 + 3{\rm{x}}_0^2\)

Để có đúng một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua \(B\left( {0;b} \right)\) thì phương trình \(b = - 2{\rm{x}}_0^3 + 3{\rm{x}}_0^2\) có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số \(y = - 2{{\rm{x}}^3} + 3{{\rm{x}}^2} \Rightarrow y' = - 6{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = 1 \Rightarrow y = 1\end{array} \right.\).

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi \(\left[ \begin{array}{l}b > 1\\b < 0\end{array} \right.\).

Với \(b \in \left( { - 10;10} \right)\) có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.