Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm H thuộc đoạn BD sao cho \[HD = 3HB\]. Biết gọc giữa mặt \[\left( {SCD} \right)\] và mặt phẳng đáy bằng \[45^\circ .\] Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là

Đáp án D

Kẻ \(HI{\rm{ // BC}}\) cắt CD tại I ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}C{\rm{D}} \bot {\rm{HI}}\\{\rm{CD}} \bot {\rm{S}}I\end{array} \right.\).

Suy ra góc giữa mặt phẳng \(\left( {SC{\rm{D}}} \right)\) và mặt phẳng đáy là góc \(\widehat {SIH} = 45^\circ \).

Dựng hình bình hành ADBE.

Ta có \(B{\rm{D // }}\left( {SA{\rm{E}}} \right) \Rightarrow d\left( {SA,B{\rm{D}}} \right) = d\left( {B{\rm{D}},(SA{\rm{E}})} \right) = d\left( {B,(SA{\rm{E}})} \right) = d\left( {H,(SA{\rm{E}})} \right)\).

Kẻ \(HJ \bot A{\rm{E}}\) vuông góc tại J ta có \(A{\rm{E}} \bot \left( {SHJ} \right) \Rightarrow \left( {SA{\rm{E}}} \right) \bot \left( {SHJ} \right)\) theo giao tuyến SJ.

Kẻ \(HK \bot {\rm{S}}J\) vuông góc tại K ta có \(HK \bot \left( {SA{\rm{E}}} \right) \Rightarrow HK = d\left( {H,(SA{\rm{E}})} \right)\).

Ta có \(HK = \frac{{HJ.H{\rm{S}}}}{{SJ}} = \frac{{HJ.H{\rm{S}}}}{{\sqrt {H{J^2} + H{{\rm{S}}^2}} }}\).

Với \(HJ = AO = a\sqrt 2 ,{\rm{ }}HI = \frac{3}{4}BC = \frac{{3a}}{2}\).

Và \(H{\rm{S}} = HI = \frac{{3{\rm{a}}}}{2}\).

 Vậy \(HK = \frac{{a\sqrt 2 .\frac{{3{\rm{a}}}}{2}}}{{\sqrt {2{{\rm{a}}^2} + \frac{{9{{\rm{a}}^2}}}{4}} }} = \frac{{3{\rm{a}}\sqrt {34} }}{{17}}\).