Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm \[M\left( { - 3;3; - 3} \right)\] thuộc mặt phẳng \[\left( \alpha \right):2x - - 2y + z + 15 = 0\] và mặt cầu \[\left( S \right):{(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 5)^2} = 100\]. Đường thẳng Δ qua M, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng Δ.

Đáp án D

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;3;5} \right)\), bán kính \(R = 10\).

Vì \(d\left( {I,(P)} \right) = 6 < R = 10 \Rightarrow \left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm E là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( P \right)\) và có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,(P)} \right)} = 8\).

Gọi \(\left( d \right)\) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với \(\left( P \right)\), nên nhận VTPT của \(\left( P \right)\) làm VTCP.

Phương trình \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2m\\y = 3 - 2m\\z = 5 + m\end{array} \right.,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó \(\left( d \right) \cap \left( P \right) = E\left( {2 + 2m;3 - 2m;5 + m} \right)\).

Ta có \(E \in \left( P \right) \Rightarrow m = - 2 \Rightarrow E\left( { - 2;7;3} \right)\).

Vì \(ME = \sqrt {53} < 8 \Rightarrow E\) nằm trong đường tròn \(\left( C \right)\). Vậy AB lớn nhất khi AB là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\), khi đó đường thẳng \(\Delta \) chính là đường thẳng ME.

Vậy \(\Delta \) qua \(M\left( { - 3;3; - 3} \right)\), nhận \(\overrightarrow {ME} = \left( {1;4;6} \right)\) làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right):\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z + 3}}{6}\).