Câu hỏi:
28/06/2022 384Với mọi số thực \[x,y\] thỏa điều kiện \[{\log _2}\left( {\frac{{xy + 1}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - xy\]. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{{x^4} + {y^4}}}{{2xy + 1}}\]. Tính giá trị biểu thức \[Q = 15m + 2{\log _2}M\].
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án C
Điều kiện: \(xy + 1 > 0\).
\({\log _2}\left( {\frac{{xy + 1}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - xy \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\frac{{xy + 1}}{{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}} \right] = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - xy - 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy + 1} \right) + \left( {xy + 1} \right) = {\log _2}\left[ {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right] + 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\).
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t{\rm{ }}\left( {t > 0} \right)\)
\(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0{\rm{ }}\forall t > 0 \Rightarrow \)hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó: \(f\left( {xy + 1} \right) = f\left( {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right) \Rightarrow xy + 1 = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)
Ta có: \( - \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} \right) \le xy \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \Leftrightarrow - \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} \right) + 1 \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} \right) + 1 \Leftrightarrow \frac{2}{5} \le {x^2} + {y^2} \le \frac{2}{3}\).
Khi đó: \(P = \frac{{{x^4} + {y^4}}}{{2{\rm{x}}y + 1}} = \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - 2{{\left( {xy} \right)}^2}}}{{2{\rm{x}}y + 1}}\).
Thay \(xy = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 1\), đặt \(t = {x^2} + {y^2}\) rút gọn ta được: \(P\left( t \right) = \frac{{ - 7{t^2} + 8t - 2}}{{4t - 1}}\) với \(\frac{2}{5} \le t \le \frac{2}{3}\).
\(P'\left( t \right) = \frac{{ - 28{t^2} + 14t}}{{{{\left( {4t - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Lập bảng biến thiên dễ thấy: \(\max P = P\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4},{\rm{ }}\min P = P\left( {\frac{2}{5}} \right) = P\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{2}{{15}}\).
Do đó: \(m = \frac{2}{{15}},M = \frac{1}{4} \Rightarrow Q = 15m + 2{\log _2}M = - 2\).
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\] có một vectơ chỉ phương là
Câu 2:
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\], tính \[f'\left( 1 \right)\].
Câu 3:
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 4}}{{x + 2m}}\] (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\]?
Câu 4:
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}\] và \[\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 3{x^2}} \right){\rm{d}}x} = 10\]. Tính \[\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} \].
Câu 5:
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x - 2}}\] là
Câu 6:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \[y = - {x^2} + 2x\] và \[y = - 3x.\]
Câu 7:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}.\] Biết \[f\left( 2 \right) = 3\] và \[\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx} = 4,\] khi đó \[\int\limits_0^2 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \] bằng
về câu hỏi!