Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a, tam giác BCD cân tại \[C,{\mkern 1mu} \widehat {BCD} = {120^0},{\mkern 1mu} SA \bot \left( {ABCD} \right){\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} SA = a.\] Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh \[SB,SC,SD\] lần lượt tại \[M,N,P.\] Tính thể tích khối chóp \[S.AMNP\]

Đáp án B

Ta có: \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{D}}B} = 60^\circ ,{\rm{ }}\widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {C{\rm{D}}B} = 30^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {A{\rm{D}}C} = 90^\circ \).

Suy ra \(BC \bot AB\), mà \(BC \bot {\rm{S}}A \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right)\)

Dựng \(AM \bot {\rm{S}}B\), ta có \(AM \bot BC \Rightarrow AM \bot {\rm{S}}C\).

Tương tự ta có \(AP \bot {\rm{SD}}\).

Dựng \(AN \bot {\rm{S}}C\) theo tính chất đối xứng thì

\(\frac{{{V_{S.AMNP}}}}{{{V_{S.ABC{\rm{D}}}}}} = \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}}\)

Mặt khác \(SA = SM.SB \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{1}{2}\)

Tương tự ta có \(\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{1 + A{C^2}}}\)

Trong đó \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},CI = IB\tan 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow AC = \frac{2}{3}a\sqrt 3 \Rightarrow \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{3}{7}\)

Suy ra \(\frac{{{V_{S.AMNP}}}}{{{V_{S.ABC{\rm{D}}}}}} = \frac{1}{2}.\frac{3}{7} = \frac{3}{{14}},{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}AC.B{\rm{D}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow {V_{S.AMNP}} = \frac{3}{{14}}{V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{3}{{14}}.\frac{1}{3}.SA.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{42}}\).