Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2=25. Từ điểm A thay đổi trên đường thẳng Δ:x=10+ty=−tz=10+t, kẻ các tiếp tuyến AB, AC, AD tới mặt cầu (S) với B, C, D là các tiếp điểm....

Gọi M(x; y; z) là một tiếp điểm bất kì của tiếp tuyến kẻ từ A đến mặt cầu (S) M∈S⇒x2+y2+z2=25. Vì A∈Δ⇒A10+t;−t;10+t. Vì AM là tiếp tuyến của (S) có tâm O(0; 0; 0), bán kính R = 5 nên AM⊥OM⇒AM→.OM→=0 Ta có: AM→=x−10−t;y+t;z−10−t,OM→=x;y;z ⇒xx−10−t+yy+t+zz−10−t=0 ⇔x2−10x−tx+y2+ty+z2−10z−tz=0 ⇔x2+y2+z2−10x−10z−tx−y+z=0 ⇔25−10x−10z−tx+y+z=0 ⇔x−y+z=010z+10z=25⇔x−y+z=02x+2z=5 ⇒P chứa đường thẳng d:x−y+z=02x+2y=5 cố định. Ta có: d:x−y+z=02x+2z=5⇔z=ty=x+t2x=−2z+5⇔2x=−2t+5y=x+tz=t⇔x=52−ty=52z=t ⇒d có 1 VTCP là u→=−1;0;1. Khi đó ta có sind;Oxy=cosu→;i→=u→.i→u→.i→=−1.1+0.0+1.02.1=12. Vậy ∠d;Oxy=450. Chọn C.

Câu hỏi:

02/07/2022 872

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25.$ Từ điểm A thay đổi trên đường thẳng $(Δ) : \{\begin{cases} x = 10 + t \\ y = - t \\ z = 10 + t \end{cases},$ kẻ các tiếp tuyến AB, AC, AD tới mặt cầu (S) với B, C, D là các tiếp điểm. Biết mặt phẳng (BCD) luôn chứa một đường thẳng cố định. Góc giữa đường thẳng cố định với mặt phẳng (Oxy) bằng:

A. $60^{0}$

B. $30^{0}$

C. $45^{0}$

Đáp án chính xác

D. $90^{0}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi M(x; y; z) là một tiếp điểm bất kì của tiếp tuyến kẻ từ A đến mặt cầu (S)

$M \in (S) \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25.$

Vì $A \in Δ \Rightarrow A (10 + t; - t; 10 + t)$ .

Vì AM là tiếp tuyến của (S) có tâm O(0; 0; 0), bán kính R = 5 nên $A M ⊥ O M \Rightarrow \vec{A M} . \vec{O M} = 0$

Ta có: $\vec{A M} = (x - 10 - t; y + t; z - 10 - t), \vec{O M} = (x; y; z)$

$\Rightarrow x (x - 10 - t) + y (y + t) + z (z - 10 - t) = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 10 x - t x + y^{2} + t y + z^{2} - 10 z - t z = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 10 x - 10 z - t (x - y + z) = 0$

$\Leftrightarrow 25 - 10 x - 10 z - t (x + y + z) = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 10 z + 10 z = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2 x + 2 z = 5 \end{cases}$

$\Rightarrow (P)$ chứa đường thẳng $d : \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2 x + 2 y = 5 \end{cases}$ cố định.

Ta có: $d : \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2 x + 2 z = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} z = t \\ y = x + t \\ 2 x = - 2 z + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = - 2 t + 5 \\ y = x + t \\ z = t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{2} - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = t \end{cases}$

$\Rightarrow d$ có 1 VTCP là $\vec{u} = (- 1; 0; 1) .$

Khi đó ta có $\sin (d; (O x y)) = \cos (\vec{u}; \vec{i}) = \frac{|\vec{u} . \vec{i}|}{|\vec{u}| . |\vec{i}|} = \frac{|- 1.1 + 0.0 + 1.0|}{\sqrt{2} .1} = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Vậy $∠ (d; (O x y)) = 45^{0} .$

Chọn C.

Bình luận

Câu 1:

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{3} x$ trên khoảng $(0; + \infty)$ là:

A. $y' = \frac{x}{\ln 3} .$

B. $y' = \frac{1}{x \ln 3}$

C. $y' = \frac{1}{x}$

D. $y' = \frac{\ln 3}{x}$

Xem đáp án » 30/06/2022 18,867

Câu 2:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

A. -2

B. 1

C. -1

D. 2

Xem đáp án » 01/07/2022 13,781

Câu 3:

Số các tập con gồm 3 phần tử của một tập hợp gồm 6 phần tử là:

A. $C_{6}^{3}$

B. 2

C. 3!

D. $A_{6}^{3}$

Xem đáp án » 29/06/2022 4,269

Câu 4:

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số chia hết cho 3 là:

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{6}$

Xem đáp án » 30/06/2022 4,139

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 4; 1) trên mặt phẳng (Oxy)?

A. P(3; 0; 1)

B. Q(0; 4; 1)

C. M(0; 0; 1)

D. N(3; 4; 0)

Xem đáp án » 01/07/2022 4,018

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng $30^{0} .$ Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

A. $\frac{8 a^{3}}{3}$

B. $\frac{8 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

C. $\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}$

Xem đáp án » 02/07/2022 3,246

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức

A. z = 3 + 5i

B. z = 3 - 5i

C. z = -5 + 3i

D. 5 + 3i

Xem đáp án » 29/06/2022 3,043

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{3} x$ trên khoảng $(0; + \infty)$ là:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

Số các tập con gồm 3 phần tử của một tập hợp gồm 6 phần tử là:

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số chia hết cho 3 là:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 4; 1) trên mặt phẳng (Oxy)?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng $30^{0} .$ Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Đạo hàm của hàm số y=log3x trên khoảng 0;+∞ là:

Đồ thị hàm số y=x−2x+1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

Số các tập con gồm 3 phần tử của một tập hợp gồm 6 phần tử là:

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số chia hết cho 3 là:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 4; 1) trên mặt phẳng (Oxy)?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng 300. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{3} x$ trên khoảng $(0; + \infty)$ là:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng $30^{0} .$ Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng: