Câu hỏi:

02/07/2022 117

Cho hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} + m$ có đồ thị là $(C_{m})$ với m là số thực. Giả sử $(C_{m})$ cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ.

Gọi $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ lần lượt là diện tích các miền gạch chéo được cho như hình vẽ. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị $m = \frac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản sao cho $S_{1} + S_{3} = S_{2} .$ Đặt T = a + b. Mệnh đề nào đúng?

A. $T \in (8; 10)$

Đáp án chính xác

B. $T \in (10; 13)$

C. $T \in (4; 6)$

D. $T \in (6; 8)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{4} - 3 x^{2} + m = 0 (1) .$

Đặt $t = x^{2}$ ta có $t^{2} - 3 t + m = 0 (2) .$

Vì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

$\Rightarrow \{\begin{cases} Δ = 9 - 4 m > 0 \\ S = 3 > 0 \\ P = m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4} .$

Giả sử $t_{1} < t_{2}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $- \sqrt{t_{2}} < - \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{2}}$ .

Do tính đối xứng nên ta dễ có

$S_{1} = S_{3} = \int_{\sqrt{t_{1}}}^{\sqrt{t_{2}}} (- x^{4} + 3 x^{2} - m) d x$

$= (- \frac{x^{5}}{5} + x^{3} - m x) |\begin{array}{l} \sqrt{t_{2}} \\ \sqrt{t_{1}} \end{array}$

$= - \frac{1}{5} (t_{2}^{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}) + (t_{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1} \sqrt{t_{1}}) - m (\sqrt{t_{2}} - \sqrt{t_{1}})$

$S_{2} = \int_{- \sqrt{t_{1}}}^{\sqrt{t_{1}}} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x = (\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + m x) |\begin{array}{l} \sqrt{t_{1}} \\ - \sqrt{t_{1}} \end{array}$

$= 2 (\frac{t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}}{5} - t_{1} \sqrt{t_{1}} + m \sqrt{t_{1}})$

Theo bài ra ta có: $S_{1} + S_{3} = 2 S_{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{5} (t_{2}^{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}) + (t_{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1} \sqrt{t_{1}}) - m (\sqrt{t_{2}} - \sqrt{t_{1}}) = \frac{t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}}{5} - t_{1} \sqrt{t_{1}} + m \sqrt{t_{1}}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{5} t_{2}^{2} \sqrt{t_{2}} + t_{2} \sqrt{t_{2}} - m \sqrt{t_{2}} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{t_{2}} (- \frac{1}{5} t_{2}^{2} + t_{2} - m) = 0$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{5} t_{2}^{2} + t_{2} - m = 0 (3)$ (do $t_{2} > 0$ )

Vì $t_{2}$ là nghiệm của phương trình (2) nên $t_{2}^{2} - 3 t_{2} + m = 0 \Leftrightarrow m = - t_{2}^{2} + 3 t_{2} .$

Thay vào (3) ta có:

$- \frac{1}{5} t_{2}^{2} + t_{2} + t_{2}^{2} - 3 t_{2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{4}{5} t_{2}^{2} - 2 t_{2} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t_{2} = 0 (k t m) \\ t_{2} = \frac{5}{2} (t m) \end{array}$

Khi đó $m = - t_{2}^{2} + 3 t_{2} = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 3. \frac{5}{2} = \frac{5}{4} (t m) \Rightarrow a = 5, b = 4.$

Vậy $T = a + b = 5 + 4 = 9 \in (8; 10) .$

Chọn A.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{3} x$ trên khoảng $(0; + \infty)$ là:

A. $y' = \frac{x}{\ln 3} .$

B. $y' = \frac{1}{x \ln 3}$

C. $y' = \frac{1}{x}$

D. $y' = \frac{\ln 3}{x}$

Xem đáp án » 30/06/2022 18,529

Câu 2:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

A. -2

B. 1

C. -1

D. 2

Xem đáp án » 01/07/2022 13,193

Câu 3:

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số chia hết cho 3 là:

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{6}$

Xem đáp án » 30/06/2022 4,004

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 4; 1) trên mặt phẳng (Oxy)?

A. P(3; 0; 1)

B. Q(0; 4; 1)

C. M(0; 0; 1)

D. N(3; 4; 0)

Xem đáp án » 01/07/2022 3,925

Câu 5:

Số các tập con gồm 3 phần tử của một tập hợp gồm 6 phần tử là:

A. $C_{6}^{3}$

B. 2

C. 3!

D. $A_{6}^{3}$

Xem đáp án » 29/06/2022 3,873

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng $30^{0} .$ Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

A. $\frac{8 a^{3}}{3}$

B. $\frac{8 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

C. $\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}$

Xem đáp án » 02/07/2022 3,107

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức

A. z = 3 + 5i

B. z = 3 - 5i

C. z = -5 + 3i

D. 5 + 3i

Xem đáp án » 29/06/2022 3,012

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{3} x$ trên khoảng $(0; + \infty)$ là:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số chia hết cho 3 là:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 4; 1) trên mặt phẳng (Oxy)?

Số các tập con gồm 3 phần tử của một tập hợp gồm 6 phần tử là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng $30^{0} .$ Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Đạo hàm của hàm số y=log3x trên khoảng 0;+∞ là:

Đồ thị hàm số y=x−2x+1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số chia hết cho 3 là:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 4; 1) trên mặt phẳng (Oxy)?

Số các tập con gồm 3 phần tử của một tập hợp gồm 6 phần tử là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng 300. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{3} x$ trên khoảng $(0; + \infty)$ là:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng $30^{0} .$ Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng: