Cho hàm số $y=x^4-3x^2+m$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$ với m là số thực. Giả sử $\left(C_m\right)$ cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ.                                

Gọi $S_1,S_2,S_3$ lần lượt là diện tích các miền gạch chéo được cho như hình vẽ. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị $m=\frac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản sao cho $S_1+S_3=S_2.$ Đặt T = a + b. Mệnh đề nào đúng?

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^4-3x^2+m=0\left(1\right).$

Đặt $t=x^2$ ta có $t^2-3t+m=0\left(2\right).$

Vì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\Delta =9-4m>0\\ S=3>0\\ P=m>0\end{array}\right.\iff 0<m<\frac{9}{4}.$

Giả sử $t_1<t_2$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $-\sqrt{t_2}<-\sqrt{t_1}<\sqrt{t_1}<\sqrt{t_2}$.

Do tính đối xứng nên ta dễ có

$S_1=S_3=\underset{\sqrt{t_1}}{\overset{\sqrt{t_2}}{\int }}\left(-x^4+3x^2-m\right)dx$

$=\left(-\frac{x^5}{5}+x^3-mx\right)\left|\begin{array}{l}\sqrt{t_2}\\ \sqrt{t_1}\end{array}\right.$

     $=-\frac{1}{5}\left(t_2^2\sqrt{t_2}-t_1^2\sqrt{t_1}\right)+\left(t_2\sqrt{t_2}-t_1\sqrt{t_1}\right)-m\left(\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}\right)$

$S_2=\underset{-\sqrt{t_1}}{\overset{\sqrt{t_1}}{\int }}\left(x^4-3x^2+m\right)dx=\left(\frac{x^5}{5}-x^3+mx\right)\left|\begin{array}{l}\sqrt{t_1}\\ -\sqrt{t_1}\end{array}\right.$

$=2\left(\frac{t_1^2\sqrt{t_1}}{5}-t_1\sqrt{t_1}+m\sqrt{t_1}\right)$

Theo bài ra ta có: $S_1+S_3=2S_2$

$\iff -\frac{1}{5}\left(t_2^2\sqrt{t_2}-t_1^2\sqrt{t_1}\right)+\left(t_2\sqrt{t_2}-t_1\sqrt{t_1}\right)-m\left(\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}\right)=\frac{t_1^2\sqrt{t_1}}{5}-t_1\sqrt{t_1}+m\sqrt{t_1}$

$\iff -\frac{1}{5}{t}_2^2\sqrt{t_2}+t_2\sqrt{t_2}-m\sqrt{t_2}=0$

$\iff \sqrt{t_2}\left(-\frac{1}{5}{t}_2^2+t_2-m\right)=0$

$\iff -\frac{1}{5}{t}_2^2+t_2-m=0\left(3\right)$ (do $t_2>0$)

Vì $t_2$ là nghiệm của phương trình (2) nên $t_2^2-3t_2+m=0\iff m=-t_2^2+3t_2.$

Thay vào (3) ta có:

$-\frac{1}{5}{t}_2^2+t_2+t_2^2-3t_2=0$

$\iff \frac{4}{5}{t}_2^2-2t_2=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}{t}_2=0\left(ktm\right)\\ t_2=\frac{5}{2}\left(tm\right)\end{array}\right.$

Khi đó $m=-t_2^2+3t_2=-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+3.\frac{5}{2}=\frac{5}{4}\left(tm\right)\Rightarrow a=5,b=4.$

Vậy $T=a+b=5+4=9\in \left(8;10\right).$

Chọn A.