Cho số phức z thỏa mãn $\left|z+\overline{z}+2\right|+2\left|z-\overline{z}-2i\right|\le 12.$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|z-4-4i\right|.$ Tính

M + m.               

Đặt $z=x+yi\Rightarrow \overline{z}=x-yi$ và M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z.

Theo bài ra ta có:

$\left|z+\overline{z}+2\right|+2\left|z-\overline{z}-2i\right|\le 12\iff \left|2x+2\right|+2\left|2yi-2i\right|\le 12$

$\iff 2\left|x+1\right|+4\left|\left(y-1\right)i\right|\le 12\iff \left|x+1\right|+2\left|y-1\right|\le 6\left(1\right)$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm M thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi ABCD với $A\left(-7;1\right),B\left(-1;-2\right),$ $C\left(5;1\right),D\left(-1;4\right)$ như hình vẽ sau:

Gọi I(4; 4) là điểm biểu diễn số phức 4 + 4i khi đó ta có $P=\left|z-4-4i\right|=MI.$

Dựa vào hình vẽ ta thấy P đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên CD, với CD là đường thẳng có phương trình $x+2y-7=0.$

Khi đó ta có $MI=d\left(I;CD\right)=\sqrt{5}\Rightarrow P_{\min }=\sqrt{5}=m.$

Tiếp tục ta thấy MI đạt GTLN khi $M\equiv A,$ khi đó $P_{\max }=IA=\sqrt{130}=M.$

Vậy $M+m=\sqrt{5}+\sqrt{130}.$

Chọn A.