Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \[v\left( t \right) = 10t - {t^2},\] trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, \[v\left( t \right)\] được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là

Đáp án C

+ Chia cả 2 vế của bất phương trình cho \({2^x} > 0\).

+ Đặt \(t = {\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x}{\rm{ }}\left( {t > 0} \right)\).

+ Đưa bất phương trình về dạng \(m \le f\left( t \right),{\rm{ }}\forall t > 0 \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right)\).

+ Lập BBT hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho \({2^x} > 0\) ta được: \({\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {\frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} - \left( {m + 1} \right) \ge 0\)

Nhận xét: \({\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x}{\left( {\frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} = 1\), do đó khi ta đặt \(t = {\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x}{\rm{ }}\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}\).

Phương trình trở thành: \(t + \left( {2 - m} \right)\frac{1}{t} - \left( {m + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + 2 - m \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - t + 2 \ge m\left( {t + 1} \right) \Leftrightarrow m \le \frac{{{t^2} - t + 2}}{{t + 1}} = f\left( t \right){\rm{ }}\forall t > 0 \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} - t + 2}}{{t + 1}}\left( {t > 0} \right)\), ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{\left( {2t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) - {t^2} + t - 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{t^2} + 2t - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right.\).

BBT:

Từ BBT \( \Rightarrow m \le 1\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{R}\\m \in \left[ { - 10;1} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \) có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D

\({3^{2{\rm{x}} - 1}} > 27 \Leftrightarrow {3^{2{\rm{x}} - 1}} > {3^3} \Leftrightarrow 2{\rm{x}} - 1 > 3 \Leftrightarrow x > 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {2; + \infty } \right)\).