Câu hỏi:

11/07/2024 3,989

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).
Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB

Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

3 điểm A, E, B thẳng hàng

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AE} $ là hai vectơ cùng phương

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:

• $\overrightarrow {AB} $ = (3; 4)

• $\overrightarrow {AE} $ = (b – 2; 1)

Khi đó $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AE} $ là hai vectơ cùng phương

$ \Leftrightarrow \frac{{b - 2}}{3} = \frac{1}{4}$

b – 2 = $\frac{3}{4}$

b = $\frac{{11}}{4}$

Vậy $E\left( {\frac{{11}}{4};0} \right)$ là điểm cần tìm.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2). Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. (ảnh 1)

*Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC.

Hay $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ và $\vec{B H} . \vec{A C} = 0$ .

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC.

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; –2) và H(x; y), ta có:

⦁ $\vec{A H} = (x + 2; y - 1)$ và $\vec{B C} = (4; - 6)$ .

$\Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = 4. (x + 2) - 6. (y - 1) = 0$ .

⇔ 4x – 6y = –14

⇔ 2x – 3y = –7 (1)

⦁ $\vec{B H} = (x - 1; y - 4)$ và $\vec{A C} = (7; - 3)$ .

$\Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = 7. (x - 1) - 3. (y - 4) = 0$ .

⇔ 7x – 3y = –5 (2)

Trừ vế theo vế của (2) cho (1), ta có: 5x = 2.

$\Leftrightarrow x = \frac{2}{5}$ .

Thay $x = \frac{2}{5}$ vào (1) ta được: $2. \frac{2}{5} - 3 y = - 7$ .

$\Leftrightarrow 3 y = \frac{39}{5}$

$\Leftrightarrow y = \frac{13}{5}$ .

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là $H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5})$ .

*Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Gọi M là trung điểm của BC.

Kẻ đường kính AD. Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90 °$ .

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC.

Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB (do H là trực tâm của tam giác ABC).

Suy ra BH // CD, CH // BD.

Khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Vì vậy hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành).

Mà M là trung điểm của BC.

Suy ra M cũng là trung điểm của DH.

Mà I là trung điểm của AD.

Do đó IM là đường trung bình của tam giác AHD.

Suy ra IM // AH và AH = 2.IM (tính chất đường trung bình của một tam giác).

Khi đó hai vectơ $\vec{A H}, \vec{I M}$ cùng phương, cùng hướng và có độ dài $|\vec{A H}| = 2. |\vec{I M}|$ .

Vì vậy $\vec{A H} = 2. \vec{I M}$ , với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; –2), $H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5})$ và I(a; b), ta có:

⦁ $\vec{A H} = (\frac{12}{5}; \frac{8}{5})$ ;

⦁ Vì M là trung điểm BC nên $\{\begin{cases} x_{M} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \\ y_{M} = \frac{4 + (- 2)}{2} = 1 \end{cases}$

Suy ra tọa độ M(3; 1).

$\Rightarrow \vec{I M} = (3 - a; 1 - b)$ .

$\Rightarrow 2 \vec{I M} = (6 - 2 a; 2 - 2 b)$ .

Ta có $\vec{A H} = 2. \vec{I M}$ (chứng minh trên).

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{12}{5} = 6 - 2 a \\ \frac{8}{5} = 2 - 2 b \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a = \frac{18}{5} \\ 2 b = \frac{2}{5} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{9}{5} \\ b = \frac{1}{5} \end{cases} \Rightarrow I (\frac{9}{5}; \frac{1}{5})$ .

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I (\frac{9}{5}; \frac{1}{5})$ .

Câu 2

Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $ bằng:

A. a²$\sqrt 2 ;$

B. $\frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }};$

C. a²;

D. $\frac{{{a^2}}}{2}.$

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình vuông nên

ABC vuông cân tại B

Do đó:

• $\widehat {BAC} = 45^\circ $

• AC = $\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 $ (theo định lí Pythagore)

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $ = AB.AC.cos\[\widehat {BAC}\]

= a.a.$\sqrt 2 $.cos45°

= a.a$\sqrt 2 $.$\frac{{\sqrt 2 }}{2}$

= a².

Do đó $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $ = a².

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \] bằng

A. $\sqrt {13} ;$

B. $2\sqrt {13} ;$

C. 4;

D. 2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của $\frac{{AP}}{{AB}}$ bằng

A. $\frac{5}{{12}};$

B. $\frac{7}{{12}};$

C. $\frac{5}{7};$

D. $\frac{7}{5}.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ $\overrightarrow {AG} $ bằng

A. $\sqrt 3 ;$

B. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2};$

C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2};$

D. $2\sqrt 3 .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. \[\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {GM} ;\]

B. \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} ;\]

C. \[\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {MG} ;\]

D. \[3\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {AM} .\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay