Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Lời giải

*Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC

Hay \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\) và \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\)

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2) và H(x; y) ta có:

• \(\overrightarrow {AH} \) = (x + 2; y – 1) và \(\overrightarrow {BC} \) = (4; –6)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} \) = 4.(x + 2) – 6.(y – 1) = 0

4x – 6y = –14

2x – 3y = –7(1)

• \(\overrightarrow {BH} \) = (x – 1; y – 4) và \(\overrightarrow {AC} \) = (7; –3)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} \) = 7.(x – 1) – 3.(y – 4) = 0

7x – 3y = –5(2)

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 5x = 2

x = \(\frac{2}{5}\)

Thay x = \(\frac{2}{5}\) vào (1) ta được: 2.\(\frac{2}{5}\) – 3y = –7

3y = \(\frac{{39}}{5}\)

y = \(\frac{{13}}{5}\)

\(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right).\)

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là \(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right).\)

* Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:

\(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM} \) với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2), \(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right)\) và I(a; b) ta có:

• \(\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{{12}}{5};\frac{8}{5}} \right)\)

• M là trung điểm của BC nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\{y_M} = \frac{{4 + \left( { - 2} \right)}}{2} = 1\end{array} \right.\)

M(3; 1)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IM} \) = (3 – a; 1 – b)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {IM} \) = (6 – 2a; 2 – 2b)

Ta có \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{5} = 6 - 2a\\\frac{8}{5} = 2 - 2b\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = \frac{{18}}{5}\\2b = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{5}\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right)\)

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right).\)