Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

*Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC.

Hay $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$.

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC.

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; –2) và H(x; y), ta có:

⦁ $\overrightarrow{AH}=\left(x+2;y-1\right)$ và $\overrightarrow{BC}=\left(4;-6\right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=4.\left(x+2\right)-6.\left(y-1\right)=0$.

⇔ 4x – 6y = –14

⇔ 2x – 3y = –7    (1)

⦁ $\overrightarrow{BH}=\left(x-1;y-4\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(7;-3\right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=7.\left(x-1\right)-3.\left(y-4\right)=0$.

⇔ 7x – 3y = –5    (2)

Trừ vế theo vế của (2) cho (1), ta có: 5x = 2.

$\iff x=\frac{2}{5}$.

Thay $x=\frac{2}{5}$ vào (1) ta được: $2.\frac{2}{5}-3y=-7$.

$\iff 3y=\frac{39}{5}$

$\iff y=\frac{13}{5}$.

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là $H\left(\frac{2}{5};\frac{13}{5}\right)$.

*Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Gọi M là trung điểm của BC.

Kẻ đường kính AD. Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90°$.

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC.

Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB (do H là trực tâm của tam giác ABC).

Suy ra BH // CD, CH // BD.

Khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Vì vậy hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành).

Mà M là trung điểm của BC.

Suy ra M cũng là trung điểm của DH.

Mà I là trung điểm của AD.

Do đó IM là đường trung bình của tam giác AHD.

Suy ra IM // AH và AH = 2.IM (tính chất đường trung bình của một tam giác).

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{IM}$ cùng phương, cùng hướng và có độ dài $\left|\overrightarrow{AH}\right|=2.\left|\overrightarrow{IM}\right|$.

Vì vậy $\overrightarrow{AH}=2.\overrightarrow{IM}$, với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; –2), $H\left(\frac{2}{5};\frac{13}{5}\right)$ và I(a; b), ta có:

⦁ $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{12}{5};\frac{8}{5}\right)$;

⦁ Vì M là trung điểm BC nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{1+5}{2}=3\\ y_M=\frac{4+\left(-2\right)}{2}=1\end{array}\right.$

Suy ra tọa độ M(3; 1).

$\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\left(3-a;1-b\right)$.

$\Rightarrow 2\overrightarrow{IM}=\left(6-2a;2-2b\right)$.

Ta có $\overrightarrow{AH}=2.\overrightarrow{IM}$ (chứng minh trên).

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{12}{5}=6-2a\\ \frac{8}{5}=2-2b\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}2a=\frac{18}{5}\\ 2b=\frac{2}{5}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{9}{5}\\ b=\frac{1}{5}\end{array}\right.\Rightarrow I\left(\frac{9}{5};\frac{1}{5}\right)$.

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I\left(\frac{9}{5};\frac{1}{5}\right)$.