Câu hỏi:
13/07/2022 2,957Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Giả sử
\(\frac{{AP}}{{AB}} = x\) (x > 0)Ta có:
• Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C
\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{BM + MC}} = \frac{2}{{2 + 1}}\)
Hay \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC\)
Do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)
Tương tự ta cũng có \(\overrightarrow {AP} = x\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC.} \)
• \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \)
\( = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)
\[ = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]
\[ = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \]
\[ = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \]
• \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AP} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
\( = x.\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
Mặt khác ta có: AM ⊥ NP
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {NP} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {x.\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}x.A{B^2} - \frac{1}{9}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{2}{9}.A{C^2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}x.A{B^2} - \frac{1}{9}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{2}{9}.A{C^2} = 0\] (1)
Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 nên AB = AC = BC = 1 và \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}\)
= 1.1.cos60° = \(\frac{1}{2}.\)
Khi đó:
(1) \( \Leftrightarrow \frac{1}{3}.x{.1^2} - \frac{1}{9}.\frac{1}{2} + \frac{2}{3}.x.\frac{1}{2} - \frac{2}{9}{.1^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{3}x = \frac{5}{{18}}\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{5}{{18}}:\frac{2}{3} = \frac{5}{{12}}\) (thỏa mãn)
Vậy \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}.\)
Ta chọn phương án A.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Xem đáp án »
12/07/2024
6,790
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \] bằng
Xem đáp án »
13/07/2022
4,647
Câu 3:
Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng:
Xem đáp án »
13/07/2022
4,626
Câu 4:
Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng
Xem đáp án »
13/07/2022
4,197
Câu 5:
B. Tự luận
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.
Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\) những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} .\)
Xem đáp án »
12/07/2024
3,984
Câu 6:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \] và \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow v .\]
a) Hãy biểu thị các vectơ \[\overrightarrow {AP} {\rm{, }}\overrightarrow {AQ} \] qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v .\)
b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,816
Câu 7:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là
Xem đáp án »
13/07/2022
3,647
về câu hỏi!