Câu hỏi:
13/07/2022 5,951Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Giả sử
\(\frac{{AP}}{{AB}} = x\) (x > 0)Ta có:
• Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C
\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{BM + MC}} = \frac{2}{{2 + 1}}\)
Hay \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC\)
Do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)
Tương tự ta cũng có \(\overrightarrow {AP} = x\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC.} \)
• \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \)
\( = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)
\[ = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]
\[ = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \]
\[ = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \]
• \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AP} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
\( = x.\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
Mặt khác ta có: AM ⊥ NP
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {NP} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {x.\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}x.A{B^2} - \frac{1}{9}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{2}{9}.A{C^2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}x.A{B^2} - \frac{1}{9}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{2}{9}.A{C^2} = 0\] (1)
Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 nên AB = AC = BC = 1 và \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}\)
= 1.1.cos60° = \(\frac{1}{2}.\)
Khi đó:
(1) \( \Leftrightarrow \frac{1}{3}.x{.1^2} - \frac{1}{9}.\frac{1}{2} + \frac{2}{3}.x.\frac{1}{2} - \frac{2}{9}{.1^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{3}x = \frac{5}{{18}}\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{5}{{18}}:\frac{2}{3} = \frac{5}{{12}}\) (thỏa mãn)
Vậy \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}.\)
Ta chọn phương án A.
Nhà sách vietjack
Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Xem đáp án »
08/04/2025
17,332
Câu 2:
Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng:
Xem đáp án »
13/07/2022
8,182
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \] bằng
Xem đáp án »
13/07/2022
6,321
Câu 4:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Xem đáp án »
11/07/2024
6,154
Câu 5:
Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng
Xem đáp án »
13/07/2022
5,895
Câu 6:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?
Xem đáp án »
13/07/2022
5,426
🔥 Đề thi HOT:
-
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
-
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
-
10 Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải)
-
185 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1:Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng oxy có đáp án (Mới nhất)
-
10 Bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước (có lời giải)
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Quy tắc đếm có đáp án
-
10 Bài tập Các bài toán thực tế ứng dụng nhị thức Newton (có lời giải)
-
10 Bài tập Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác (có lời giải)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận