Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định (AB < 2R). Từ điểm C bất kì trên tia đối của tia AB, kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D nằm trên cung lớn AB). Gọi I là trung điểm của dây AB. Tia DI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Kẻ đường thẳng KE song song với AB (E ∈ (O)). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CDOI nội tiếp.

b) CD² = CA.CB.

c) CE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Khi C chuyển động trên tia đối của tia AB thì trọng tâm G của tam giác ABD chuyển động trên một đường tròn cố định.

a) Ta có OI ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây đó)

$\Rightarrow \widehat{CIO}=90°$

Ta cũng có $\widehat{CDO}=90°$ (CD là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác CDOIcó $\widehat{CIO}+\widehat{CDO}=90°+90°=180°$

Do đó tứ giác CDOI nội tiếp.

b) Xét ∆CDA và ∆CBD có:

$\widehat{DCB}$ là góc chung

$\widehat{DBA}\text{=}\widehat{CDA}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung DA)

Suy ra ∆CDA  ∆CBD (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CD}\iff C{D}^2=CA.CB$ (điều phải chứng minh)

c) Ta có $\left\{\begin{array}{l}OI\perp AB\left(cmt\right)\\ AB//EK\left(gt\right)\end{array}\right.\Rightarrow OI\perp EK$

Xét tam giác OEK có OE = OK = R =>  Tam giác OEK cân tại O

Tam giác OEK cân tại O có OI là đường cao (OI ⊥ EK).

Nên OI là đường trung trực của EK.

Suy ra IE = IK.

Do đó tam giác IEK cân tại I.

Ta có:

$\widehat{CDE}=\widehat{DKE}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung DE)

$\widehat{DKE}=\widehat{IEK}$ (tam giác IEK cân tại I)

$\widehat{CIE}=\widehat{IEK}$ (hai góc so le trong)

Suy ra $\widehat{CED}=\widehat{CID}$ suy ra tứ giác DIEC nội tiếp.

Mà tứ giác CDOI nội tiếp.

Suy ra D, O, I, E, C cùng thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn ngoại tiếp trên ta có:

$\widehat{CEO}=\widehat{CIO}=90°$(góc nội tiếp cùng chắn cung CO)

Suy ta CE ⊥ OE nên CE là tiếp tuyến của (O).

d) Lấy F thuộc đoạn OI sao cho IF = OI.

Ta có: A, B cố định suy ra I là trung điểm AB cố định suy ra OI cố định.

Suy ra F cố định.

Xét tam giác DAB có G là trọng tâm nên ta có: $DG=\frac{2}{3}DI$

$\Rightarrow IG=DI-DG=DI\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}DI$

Xét tam giác IDO có: $IF=\frac{1}{3}IO;IG=\frac{1}{3}ID$.

$\Rightarrow GF=\frac{1}{3}DO=\frac{1}{3}R$.

Ta có F cố định và FG $=\frac{1}{3}R$ cố định.