Câu hỏi:

13/07/2024 3,481

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = 3abc.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $K = \frac{a^{2}}{c (c^{2} + a^{2})} + \frac{b^{2}}{a (a^{2} + b^{2})} + \frac{c^{2}}{b (b^{2} + c^{2})}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $K = \frac{a^{2}}{c (c^{2} + a^{2})} + \frac{b^{2}}{a (a^{2} + b^{2})} + \frac{c^{2}}{b (b^{2} + c^{2})} = \frac{a^{2} + c^{2} - c^{2}}{c (c^{2} + a^{2})} + \frac{b^{2} + a^{2} - a^{2}}{a (a^{2} + b^{2})} + \frac{c^{2} + b^{2} - b^{2}}{b (b^{2} + c^{2})} = (\frac{1}{c} - \frac{c}{c^{2} + a^{2}}) + (\frac{1}{a} - \frac{a}{a^{2} + b^{2}}) + (\frac{1}{b} - \frac{b}{b^{2} + c^{2}}) \geq^{C o s i} (\frac{1}{c} - \frac{c}{2 \sqrt{c^{2} a^{2}}}) + (\frac{1}{a} - \frac{a}{2 \sqrt{a^{2} b^{2}}}) + (\frac{1}{b} - \frac{b}{2 \sqrt{b^{2} c^{2}}}) = (\frac{1}{c} - \frac{1}{2 a}) + (\frac{1}{a} - \frac{1}{2 b}) + (\frac{1}{b} - \frac{1}{2 c}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = \frac{a b + b c + a c}{2 a b c} = \frac{3}{2} \Rightarrow K \geq \frac{3}{2}$

Vậy Min K = $\frac{3}{2}$ khi a = b = c.

Mà ab + bc + ac = 3abc

$\Rightarrow a = b = c = 1$ .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số y = 2x² có đồ thị là parabol (P).

a) Các điểm A(−2; 8); B $(\frac{1}{2}; 1)$ có thuộc (P) không? Vì sao?

b) Vẽ parabol (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Xem đáp án

Lời giải

a) Thay x_A vào hàm số y = 2x² ta có:

y = 2x_A² = 2.(−2)² = 8 = y_A.

Do đó A(−2; 8) thuộc (P).

Thay x_B vào hàm số y = 2x² ta có:

y = 2x_B² = 2. ${(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$ ≠ y_B= 1.

Do đó B(; 1) không thuộc (P).

b) Bảng giá trị:

x	−2	−1	0	1	2
y = 2x²	8	2	0	2	8

Parabol (P) đi qua các điểm O(0; 0); A(−2; 8); B(−1; 2); C(1; 2); D(2; 8).

Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị là parabol (P). (ảnh 1)

Câu 2

Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định (AB < 2R). Từ điểm C bất kì trên tia đối của tia AB, kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D nằm trên cung lớn AB). Gọi I là trung điểm của dây AB. Tia DI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Kẻ đường thẳng KE song song với AB (E ∈ (O)). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CDOI nội tiếp.

b) CD² = CA.CB.

c) CE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Khi C chuyển động trên tia đối của tia AB thì trọng tâm G của tam giác ABD chuyển động trên một đường tròn cố định.

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định (AB < 2R). Từ điểm C bất kì trên tia đối của tia AB, kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D nằm (ảnh 1)

a) Ta có OI ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây đó)

$\Rightarrow \hat{C I O} = 90 °$

Ta cũng có $\hat{C D O} = 90 °$ (CD là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác CDOIcó $\hat{C I O} + \hat{C D O} = 90 ° + 90 ° = 180 °$

Do đó tứ giác CDOI nội tiếp.

b) Xét ∆CDA và ∆CBD có:

$\hat{D C B}$ là góc chung

$\hat{D B A} = \hat{C D A}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung DA)

Suy ra ∆CDA ∆CBD (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{C D}{C B} = \frac{C A}{C D} \Leftrightarrow C D^{2} = C A . C B$ (điều phải chứng minh)

c) Ta có $\{\begin{cases} O I ⊥ A B (c m t) \\ A B / / E K (g t) \end{cases} \Rightarrow O I ⊥ E K$

Xét tam giác OEK có OE = OK = R => Tam giác OEK cân tại O

Tam giác OEK cân tại O có OI là đường cao (OI ⊥ EK).

Nên OI là đường trung trực của EK.

Suy ra IE = IK.

Do đó tam giác IEK cân tại I.

Ta có:

$\hat{C D E} = \hat{D K E}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung DE)

$\hat{D K E} = \hat{I E K}$ (tam giác IEK cân tại I)

$\hat{C I E} = \hat{I E K}$ (hai góc so le trong)

Suy ra $\hat{C E D} = \hat{C I D}$ suy ra tứ giác DIEC nội tiếp.

Mà tứ giác CDOI nội tiếp.

Suy ra D, O, I, E, C cùng thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn ngoại tiếp trên ta có:

$\hat{C E O} = \hat{C I O} = 90 °$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CO)

Suy ta CE ⊥ OE nên CE là tiếp tuyến của (O).

d) Lấy F thuộc đoạn OI sao cho IF = OI.

Ta có: A, B cố định suy ra I là trung điểm AB cố định suy ra OI cố định.

Suy ra F cố định.

Xét tam giác DAB có G là trọng tâm nên ta có: $D G = \frac{2}{3} D I$

$\Rightarrow I G = D I - D G = D I (1 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} D I$

Xét tam giác IDO có: $I F = \frac{1}{3} I O; I G = \frac{1}{3} I D$ .

$\Rightarrow G F = \frac{1}{3} D O = \frac{1}{3} R$ .

Ta có F cố định và FG $= \frac{1}{3} R$ cố định.

Suy ra G thuộc

(F; \frac{1}{3} R)

cố định khi C di chuyển trên tia đối tia AB

Câu 3

Hai người thợ cùng làm chung một công việc thì sau 6 ngày hoàn thành. Nếu người thứ nhất làm trong 2 ngày rồi dùng là và người thứ hai làm tiếp công việc đó trong 3 ngày thì hoàn thành đươc 40% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong thời gian bao lâu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M(−2; −5) và N(4; 7)

b) Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} (x + 1) (y - 1) = x y - 1 \\ (x - 3) (y - 3) = x y - 3 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: K=a2cc2+a2+b2aa2+b2+c2bb2+c2

Bình luận

Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị là parabol (P). a) Các điểm A(−2; 8); B12;1 có thuộc (P) không? Vì sao? b) Vẽ parabol (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M(−2; −5) và N(4; 7) b) Giải hệ phương trình: x+1y−1=xy−1x−3(y−3)=xy−3

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = 3abc.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $K = \frac{a^{2}}{c (c^{2} + a^{2})} + \frac{b^{2}}{a (a^{2} + b^{2})} + \frac{c^{2}}{b (b^{2} + c^{2})}$

Cho hàm số y = 2x² có đồ thị là parabol (P).

a) Các điểm A(−2; 8); B $(\frac{1}{2}; 1)$ có thuộc (P) không? Vì sao?

b) Vẽ parabol (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M(−2; −5) và N(4; 7)

b) Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} (x + 1) (y - 1) = x y - 1 \\ (x - 3) (y - 3) = x y - 3 \end{cases}$