Cho hàm số y = 2x² có đồ thị là parabol (P).

a) Các điểm A(−2; 8); B$\left(\frac{1}{2};1\right)$ có thuộc (P) không? Vì sao?

b) Vẽ parabol (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Lời giải.

Gọi x (công việc) là phần công việc người thứ nhất làm được trong 1 ngày (x > 0)

Gọi y (công việc) là phần công việc người thứ hai làm dược trong 1 ngày (y > 0)

Hai người cùng làm chung trong 6 ngày thì xong nên ta có:

6x + 6y = 1 (1)

Người thứ nhất làm trong 2 ngày và người thứ hai làm trong 2 ngày thì được 40% công việc nên:

2x + 3y = 40% = 0,4 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 6y = 1\\2x + 3y = 0,4\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{6} - y\\\frac{2}{6} - 2y + 3y = 0,4\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{10}}\\y = \frac{1}{{15}}\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

Người thứ nhất làm 1 ngày được \(\frac{1}{{10}}\)công việc nên người thứ nhất làm một mình mất 10 ngày thì xong.

Người thứ hai làm 1 ngày được \(\frac{1}{{15}}\)công việc nên người thứ hai làm một mình mất 15 ngày thì xong.

Vậy người thứ nhất làm một mình mất 10 ngày thì xong, người thứ hai làm một mình mất 15 ngày thì xong.

a) Ta có OI ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây đó)

$\Rightarrow \widehat{CIO}=90°$

Ta cũng có $\widehat{CDO}=90°$ (CD là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác CDOIcó $\widehat{CIO}+\widehat{CDO}=90°+90°=180°$

Do đó tứ giác CDOI nội tiếp.

b) Xét ∆CDA và ∆CBD có:

$\widehat{DCB}$ là góc chung

$\widehat{DBA}\text{=}\widehat{CDA}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung DA)

Suy ra ∆CDA  ∆CBD (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CD}\iff C{D}^2=CA.CB$ (điều phải chứng minh)

c) Ta có $\left\{\begin{array}{l}OI\perp AB\left(cmt\right)\\ AB//EK\left(gt\right)\end{array}\right.\Rightarrow OI\perp EK$

Xét tam giác OEK có OE = OK = R =>  Tam giác OEK cân tại O

Tam giác OEK cân tại O có OI là đường cao (OI ⊥ EK).

Nên OI là đường trung trực của EK.

Suy ra IE = IK.

Do đó tam giác IEK cân tại I.

Ta có:

$\widehat{CDE}=\widehat{DKE}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung DE)

$\widehat{DKE}=\widehat{IEK}$ (tam giác IEK cân tại I)

$\widehat{CIE}=\widehat{IEK}$ (hai góc so le trong)

Suy ra $\widehat{CED}=\widehat{CID}$ suy ra tứ giác DIEC nội tiếp.

Mà tứ giác CDOI nội tiếp.

Suy ra D, O, I, E, C cùng thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn ngoại tiếp trên ta có:

$\widehat{CEO}=\widehat{CIO}=90°$(góc nội tiếp cùng chắn cung CO)

Suy ta CE ⊥ OE nên CE là tiếp tuyến của (O).

d) Lấy F thuộc đoạn OI sao cho IF = OI.

Ta có: A, B cố định suy ra I là trung điểm AB cố định suy ra OI cố định.

Suy ra F cố định.

Xét tam giác DAB có G là trọng tâm nên ta có: $DG=\frac{2}{3}DI$

$\Rightarrow IG=DI-DG=DI\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}DI$

Xét tam giác IDO có: $IF=\frac{1}{3}IO;IG=\frac{1}{3}ID$.

$\Rightarrow GF=\frac{1}{3}DO=\frac{1}{3}R$.

Ta có F cố định và FG $=\frac{1}{3}R$ cố định.