Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M,N,H theo thứ tự là trung điểm của AB,AC và BC.

Kẻ $DE\perp AC$ , gọi K là trung điểm của EC. Qua K vẽ đường thẳng $d\perp DK$ . Chứng minh: Ba đường thẳng AH, MN và d đồng qui (cùng gặp nhau tại 1 điểm)

Kẻ $DE\perp AC$ , gọi K là trung điểm của EC. Qua K vẽ đường thẳng $d\perp DK$ . Chứng minh: Ba đường thẳng AH, MN và d đồng qui (cùng gặp nhau tại 1 điểm)

Lấy P là trung điểm cạnh ED. Gọi I là giao điểm của MN và AH. Ta sẽ chứng minh  $IK\perp DK$

Xét tam giác AHC có $IN\text{//}HC$  và N là trung điểm AC nên I là trung điểm của  AH

Suy ra $AI=\frac{AH}{2}$  và $AI\text{//}DC$ ; $AH=DC$  (do ADCH là hình chữ nhật) nên $AI=\frac{DC}{2}$

Xét tam giác EPC có PK là đường trung bình của tam giác $\Rightarrow PK\text{//}DC$ ,$PK=\frac{DC}{2}$

Xét tứ giác AIPK có $AI=PK\left(=\frac{DC}{2}\right)$ ; $AI\text{//}PK\text{//}DC$  nên AIPK là hình bình hành.

Do đó:  $IK\text{//}AP$

Lại có $PK\text{//}DC$  mà $DC\perp AD\Rightarrow PK\perp AD$

Từ đó suy ra P là trực tâm tam giác ADK.

Suy ra $AP\perp DK$  mà $IK\text{//}AP$  nên  $IK\perp DK$

Do đó $IK\equiv d$  nên ba đường thẳng AH,MN, d đồng qui tại điểm I (đpcm).