Cho xy+z+yz+x+zx+y=1 . Chứng minh x2y+z+y2z+x+z2x+y=0 .

Phương pháp Nhân cả hai vế của đẳng thức bài cho với x+y+z≠0 . Cách giải: Choxy+z+yz+x+zx+y=1 . Chứng minh x2y+z+y2z+x+z2x+y=0 . Nhận xét: Nếu x+y+z=0⇒x+y=−zx+z=−yy+z=−x⇒xy+z+yz+x+zx+y=−3 . Suy ra x+y+z≠0 . Ta có:xy+z+yz+x+zx+y=1 ⇔x+y+zxy+z+yz+x+zx+y=x+y+z ⇔x2y+z+xyz+x+xzx+y+xyy+z+y2z+x+yzx+y+zxy+z+yzz+x+z2x+y=x+y+z ⇔x2y+z+y2z+x+z2x+y+x+yzx+y+y+zxy+z+z+xyz+x=x+y+z ⇔x2y+z+y2z+x+z2x+y+x+y+z=x+y+z ⇔x2y+z+y2z+x+z2x+y=0

Câu hỏi:

11/07/2024 192

Cho $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$ . Chứng minh $\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} = 0$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 14 đề thi Học kì 1 Toán 8 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp

Nhân cả hai vế của đẳng thức bài cho với $x + y + z \neq 0$ .

Cách giải:

Cho $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$ . Chứng minh $\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} = 0$ .

Nhận xét: Nếu $x + y + z = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x + y = - z \\ x + z = - y \\ y + z = - x \end{cases} \Rightarrow \frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = - 3$ .

Suy ra $x + y + z \neq 0$ .

Ta có: $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$

$\Leftrightarrow (x + y + z) (\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y}) = x + y + z$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{x y}{z + x} + \frac{x z}{x + y} + \frac{x y}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{y z}{x + y} + \frac{z x}{y + z} + \frac{y z}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} = x + y + z$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} + (x + y) \frac{z}{x + y} + (y + z) \frac{x}{y + z} + (z + x) \frac{y}{z + x} = x + y + z$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} + x + y + z = x + y + z$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} = 0$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Kẻ DI vuông góc với AC, DI, DM cắt AH lần lượt tại P và Q. Chứng minh $Δ A D P = Δ H D Q$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương pháp

Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp g-c-g.

Cách giải:

Media VietJack

Kẻ DI vuông góc với AC, DI, DM cắt AH lần lượt tại P và Q. Chứng minh $Δ A D P = Δ H D Q$ .

Ta có: $\hat{P D A} = \hat{M A B}$ (cùng phụ góc MAD) (1)

Xét $Δ M H D$ và $Δ M B A$ có:

$\begin{array}{l} \hat{H} = \hat{B} = 90 ° \\ M H = M B (g t) \\ D H = A B (h v) \end{array}$ (2)

$Δ M H D = Δ M B A (c - g - c) \Rightarrow \hat{M A B} = \hat{M D H}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \hat{P D A} = \hat{M D H}$

Xét $Δ A D P$ và $Δ H D Q$ có:

$\begin{array}{l} \hat{Q D H} = \hat{P D A} (c m t) \\ \hat{Q H D} = \hat{P A D} = 45 ° \\ D H = D A \end{array}$

Vậy $Δ A D P = Δ H D Q (g . c . g)$

Câu 2

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Gọi M là trung điểm của BH. Chứng minh A đối xứng với C qua M.

Xem đáp án

Lời giải

Phương pháp

Chứng minh ABCH là hình bình hành suy ra M là trung điểm AC.

Cách giải:

Media VietJack

Gọi M là trung điểm của BH. Chứng minh A đối xứng với C qua M.

Ta có: $\{\begin{cases} A B ∥ D H \\ A B = D H \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} A B ∥ H C \\ A B = H C \end{cases} \Rightarrow A B C H$ là hình bình hình (dhnb)

Mà M là trung điểm của BH nên M là trung điểm của AC (t/c)

Suy ra A đối xứng với C qua M.

Câu 3

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Chứng minh rằng tứ giác ABHD là hình vuông.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Phép chia $5 x^{n - 1} y^{4} : (2 x^{3} y^{n})$ là phép chia hết khi:

A. $n > 4$

B. $n \geq 4$

C. $n = 4$

D. $n < 4$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tính hợp lí giá trị của biểu thức:

$2019^{2} - 2019.19 - 19^{2} - 19.1981$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Hình nào sau đây chưa chắc có trục đối xứng?

A. Tam giác đều

B. Hình chữ nhật

C. Hình thang

D. Hình tròn

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tam giác ABC vuông tại A có $A B = 3 c m, B C = 5 c m$ . Tính diện tích tam giác ABC.

A. $6 c m^{2}$

B. $20 c m^{2}$

C. $15 c m^{2}$

D. $12 c m^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho xy+z+yz+x+zx+y=1 . Chứng minh x2y+z+y2z+x+z2x+y=0 .

Cho hình thang vuông ABCD, A^=D^=90°có CD=2AB=2AD . Kẻ BH vuông góc với CD. Kẻ DI vuông góc với AC, DI, DM cắt AH lần lượt tại P và Q. Chứng minh ΔADP=ΔHDQ .

Cho hình thang vuông ABCD, A^=D^=90° có CD=2AB=2AD . Kẻ BH vuông góc với CD. Gọi M là trung điểm của BH. Chứng minh A đối xứng với C qua M.

Cho hình thang vuông ABCD, A^=D^=90°có CD=2AB=2AD. Kẻ BH vuông góc với CD. Chứng minh rằng tứ giác ABHD là hình vuông.

Phép chia 5xn−1y4:2x3yn là phép chia hết khi:

Tính hợp lí giá trị của biểu thức: 20192−2019.19−192−19.1981

Hình nào sau đây chưa chắc có trục đối xứng?

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3cm, BC=5cm. Tính diện tích tam giác ABC.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$ . Chứng minh $\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} = 0$ .

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Kẻ DI vuông góc với AC, DI, DM cắt AH lần lượt tại P và Q. Chứng minh $Δ A D P = Δ H D Q$ .

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Gọi M là trung điểm của BH. Chứng minh A đối xứng với C qua M.

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Chứng minh rằng tứ giác ABHD là hình vuông.

Phép chia $5 x^{n - 1} y^{4} : (2 x^{3} y^{n})$ là phép chia hết khi:

Tính hợp lí giá trị của biểu thức:

$2019^{2} - 2019.19 - 19^{2} - 19.1981$

Cho tam giác ABC vuông tại A có $A B = 3 c m, B C = 5 c m$ . Tính diện tích tam giác ABC.