f(x) = |3x – 1|.

Với 3x – 1 ≥ 0 hay x ≥ \(\frac{1}{3}\), ta có: |3x – 1| = 3x – 1.

Với 3x – 1 < 0 hay x < \(\frac{1}{3}\), ta có: |3x – 1| = – (3x – 1) = – 3x + 1.

Khi đó ta có: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - 1\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge \frac{1}{3}\\ - 3x + 1\,\,\,khi\,x < \frac{1}{3}\end{array} \right.\).

Ta xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) = 3x – 1 trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\) và của hàm số h(x) = – 3x + 1 trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)\).

+ Lấy hai số x₁, x₂ tùy ý thuộc khoảng \(\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\) sao cho x₁ < x­₂:

Ta có: f(x₁) – f(x₂) = (3x₁ – 1) – (3x₂ – 1) = 3(x₁ – x₂) < 0 (do x₁ < x₂ nên x₁ – x₂ < 0).

Suy ra f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên \(\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\) hay f(x) đồng biến trên \(\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\). (1)

+ Lấy hai số x₃, x₄ tùy ý thuộc khoảng \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)\) sao cho x₃ < x₄:

Ta có: f(x₃) – f(x₄) = (– 3x₃ + 1) – (– 3x₄ + 1) = 3(x₄ – x₃) > 0 (do x₃ < x₄ nên x₄ – x₃ > 0).

Suy ra f(x₃) > f(x₄).

Vậy hàm số h(x) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)\) hay f(x) nghịch biến khoảng \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\).