Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, AC = m, BD = n. Chứng minh: m² + n² = 2(a² + b²).

Lời giải

Xét tam giác ABC, ta có:

Áp dụng hệ quả của định lí cos, ta được:

\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{5^2} + {7^2} - {9^2}}}{{2.5.7}} = - \frac{1}{{10}}\)

⇒ \(\widehat A \approx \)95,7°.

Ta có p = \(\frac{{5 + 7 + 9}}{2} = 10,5\)

Áp dụng công thức herong, diện tích tam giác ABC là:

S =\(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10,5\left( {10,5 - 9} \right)\left( {10,5 - 7} \right)\left( {10,5 - 5} \right)} \approx 17,4\).

Mặt khác, ta lại có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)

⇒ \(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{9.7.5}}{{4.17,4}} \approx 4,5\).

Vậy \(\widehat A \approx \)95,7° và R ≈ 4,5.