Một cây cao bị nghiêng so với mặt đất một góc 78°. Từ vị trí C cách gốc cây 20m, người ta tiến hành đo đạc và thu được kết quả \(\widehat {ACB} = 50^\circ \)với B là vị trí ngọn cây (Hình 10). Tính khoảng cách từ gốc cây (điểm A) đến ngọn cây (điểm B) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Lời giải

Xét tam giác ABC, ta có:

Áp dụng hệ quả của định lí cos, ta được:

\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{5^2} + {7^2} - {9^2}}}{{2.5.7}} = - \frac{1}{{10}}\)

⇒ \(\widehat A \approx \)95,7°.

Ta có p = \(\frac{{5 + 7 + 9}}{2} = 10,5\)

Áp dụng công thức herong, diện tích tam giác ABC là:

S =\(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10,5\left( {10,5 - 9} \right)\left( {10,5 - 7} \right)\left( {10,5 - 5} \right)} \approx 17,4\).

Mặt khác, ta lại có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)

⇒ \(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{9.7.5}}{{4.17,4}} \approx 4,5\).

Vậy \(\widehat A \approx \)95,7° và R ≈ 4,5.