Biểu thức ( sqrt {{{ sin }^4}x + 4{{ cos }^2}x} + sqrt {{{ cos }^4}x + 4{{ sin }^2}x} + { tan ^2}x ) bằng biểu thức nào sau đây? A. 3 – tan2x; B. 3 + tan2x; C. tan2x; D. 4 + tanx.

Hướng dẫn giải: Đáp án đúng là: B. Ta có: ({ sin ^4}x + 4{ cos ^2}x = { sin ^4}x + 4. left( {1 - {{ sin }^2}x} right) = { left( {{{ sin }^2}x - 2} right)^2} ) Và ({ cos ^4}x + 4{ sin ^2}x = { cos ^4}x + 4 left( {1 - {{ cos }^2}x} right) = { left( {{{ cos }^2}x - 2} right)^2} ) Do đó ( sqrt {{{ sin }^4}x + 4{{ cos }^2}x} + sqrt {{{ cos }^4}x + 4{{ sin }^2}x} + { tan ^2}x ) ( = sqrt {{{ left( {{{ sin }^2}x - 2} right)}^2}} + sqrt {{{ left( {{{ cos }^2}x - 2} right)}^2}} + { tan ^2}x ) ( = left| {{{ sin }^2}x - 2} right| + left| {{{ cos }^2}x - 2} right| + { tan ^2}x ) (do (0 le { cos ^2}x;{ sin ^2}x le 1 )) ( = 2 - { sin ^2}x + 2 - { cos ^2}x + { tan ^2}x ) ( = 4 - left( {{{ cos }^2}x + {{ sin }^2}x} right) + { tan ^2}x ) ( = 4 - 1 + { tan ^2}x = 3 + { tan ^2}x ). Vậy ( sqrt {{{ sin }^4}x + 4{{ cos }^2}x} + sqrt {{{ cos }^4}x + 4{{ sin }^2}x} + { tan ^2}x ) = 3 + tan2x.