Cho ∆ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Kết luận nào sau đây là đúng?

Vì ba điểm A, D, B thẳng hàng nên BD = AB – AD.

Vì ba điểm A, F, C thẳng hàng nên AF = AC – CF.

Ta có AB = AC (∆ABC đều) và AD = CF (giả thiết).

Do đó AB – AD = AC – CF.

Suy ra BD = AF.

Xét ∆ADF và ∆BED, có:

AD = BE (giả thiết).

BD = AF (chứng minh trên).

Do đó ∆ADF = ∆BED (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra \[\widehat {FDA} = \widehat {DEB}\] (cặp góc tương ứng).

Xét ∆BDE, có: \[\widehat {BDE} + \widehat {EBD} + \widehat {DEB} = 180^\circ \].

Suy ra \[\widehat {BDE} + 60^\circ + \widehat {FDA} = 180^\circ \] (∆ABC đều).

Mà \[\widehat {BDE} + \widehat {EDF} + \widehat {FDA} = 180^\circ \] (kề bù).

Do đó \[\widehat {EDF} = 60^\circ \].

Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {DEF} = 60^\circ \].

Ta suy ra ∆DEF đều.

Do đó đáp án A đúng.

∆DEF là tam giác đều nên ∆DEF không thể là tam giác vuông (vì tam giác đều có các góc bằng nhau và cùng bằng 60°).

Do đó ta loại đáp án B, C, D.

Vậy ta chọn đáp án A.

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Xét ∆ABD và ∆ACE, có:

AB = AC (chứng minh trên).

\[\widehat {BAC}\] là góc chung.

AD = AE (giả thiết).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\] (cặp cạnh tương ứng).

Vì ∆ABC cân tại A nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].

Suy ra \[\widehat {ABD} + \widehat {DBC} = \widehat {ACE} + \widehat {ECB}\].

Mà \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\] (chứng minh trên).

Do đó \[\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\] hay \[\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\].

Khi đó ta có ∆IBC cân tại I.

Vậy ta chọn đáp án A.