Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự các điểm D, E, F sao cho AD = BE = CF. Hỏi ∆DEF là tam giác gì?

Vì ba điểm A, D, B thẳng hàng nên BD = AB – AD.

Vì ba điểm A, F, C thẳng hàng nên AF = AC – CF.

Ta có AB = AC (∆ABC đều) và AD = CF (giả thiết).

Do đó AB – AD = AC – CF.

Suy ra BD = AF.

Xét ∆ADF và ∆BED, có:

AD = BE (giả thiết).

BD = AF (chứng minh trên).

Do đó ∆ADF = ∆BED (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat {FDA} = \widehat {DEB}$ (cặp góc tương ứng).

Xét ∆BDE, có: $\widehat {BDE} + \widehat {EBD} + \widehat {DEB} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {BDE} + 60^\circ + \widehat {FDA} = 180^\circ$ (∆ABC đều).

Mà $\widehat {BDE} + \widehat {EDF} + \widehat {FDA} = 180^\circ$ (kề bù).

Do đó $\widehat {EDF} = 60^\circ$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat {DEF} = 60^\circ$.

Ta suy ra ∆DEF đều.

Do đó đáp án A đúng.

∆DEF là tam giác đều nên ∆DEF không thể là tam giác vuông (vì tam giác đều có các góc bằng nhau và cùng bằng 60°).

Do đó ta loại đáp án B, C, D.

Vậy ta chọn đáp án A.