Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc canh AB sa cho AD = AE. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Hỏi ∆IBC là tam giác gì?

Vì ba điểm A, D, B thẳng hàng nên BD = AB – AD.

Vì ba điểm A, F, C thẳng hàng nên AF = AC – CF.

Ta có AB = AC (∆ABC đều) và AD = CF (giả thiết).

Do đó AB – AD = AC – CF.

Suy ra BD = AF.

Xét ∆ADF và ∆BED, có:

AD = BE (giả thiết).

BD = AF (chứng minh trên).

Do đó ∆ADF = ∆BED (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra \[\widehat {FDA} = \widehat {DEB}\] (cặp góc tương ứng).

Xét ∆BDE, có: \[\widehat {BDE} + \widehat {EBD} + \widehat {DEB} = 180^\circ \].

Suy ra \[\widehat {BDE} + 60^\circ + \widehat {FDA} = 180^\circ \] (∆ABC đều).

Mà \[\widehat {BDE} + \widehat {EDF} + \widehat {FDA} = 180^\circ \] (kề bù).

Do đó \[\widehat {EDF} = 60^\circ \].

Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {DEF} = 60^\circ \].

Ta suy ra ∆DEF đều.

Do đó đáp án A đúng.

∆DEF là tam giác đều nên ∆DEF không thể là tam giác vuông (vì tam giác đều có các góc bằng nhau và cùng bằng 60°).

Do đó ta loại đáp án B, C, D.

Vậy ta chọn đáp án A.

Xét ∆EAD và ∆FAD, có:

AF = AE (giả thiết).

\[\widehat {FAD} = \widehat {DAE}\] (AD là phân giác \[\widehat {BAC}\]).

AD là cạnh chung.

Do đó ∆EAD = ∆FAD (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra \[\widehat {{E_2}} = \widehat {{F_2}}\].

Ta có \[\widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).

Lại có \[\widehat {{F_1}} + \widehat {{F_2}} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).

Do đó ta có \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}\] (1).

∆ABC vuông tại A: \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \].

∆CDE vuông tại D: \[\widehat {DEC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \].

Do đó \[\widehat {ABC} = \widehat {DEC}\] hay \[\widehat {FBD} = \widehat {{E_1}}\] (2).

Từ (1), (2), ta suy ra \[\widehat {FBD} = \widehat {{F_1}}\].

Do đó ∆FBD cân tại D.

Vậy ta chọn đáp án C.