Câu hỏi:

19/08/2025 13,448

(3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) sao cho AO > 2R. Kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và OH.OA = R².

b) Kẻ dây cung BD của đường tròn (O; R) song song với AO. Đoạn AD cắt (O; R) tại E (khác D). Gọi F là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác ABFO nội tiếp và tam giác BEF vuông.

c) Kẻ đường kính BK của đường tròn (O; R). Chứng minh tia AO là phân giác của góc DAK.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

(3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) sao cho AO > 2R. Kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và OH.OA = R2. b) Kẻ dây cung BD của đường tròn (O; R) song song với AO. Đoạn AD cắt (O; R) tại E (khác D). Gọi F là trung điểm của DE. (ảnh 1)

a) Ta có: AB, AC là 2 tiếp tuyến

Þ AB ^ OB; AC ^ OC

Xét tứ giác ABOC có $\hat{A B O} = \hat{A C O} = 90 °$

Þ Hai điểm B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

Þ Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.

Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại A

Nên AB = AC và OB = OC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra A và O cùng nằm trên đường trung trực của BC

Do đó AO là đường trung trực của BC.

Þ AO ⊥ BC.

Xét ∆ABO vuông tại B ( $\hat{A B O} = 90 °$ ), BH ^ AO (BC ^ AO, H Î BC)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

OB² = OH.OA

Þ OH.OA = R².

b) F là trung điểm ED

Þ OF ^ ED (liên hệ giữa dây cung và đường kính)

Xét tứ giác ABFO có $\hat{A B O} = \hat{A F O} = 90 °$

Mà $\hat{A B O}$ và $\hat{A F O}$ là hai góc có đỉnh kề nhau của tứ giác ABFO

Þ Tứ giác ABFO nội tiếp

Þ $\hat{A F B} = \hat{A O B}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà $\hat{B E D} = \hat{B C D}$ (2 góc cùng chắn cung BD) và $\hat{B C D} = \hat{H B O}$ (Tam giác OBC cân tại O).

=> $\Rightarrow \hat{B E F} + \hat{B F E} = \hat{B C D} + \hat{B F A} = \hat{H B O} + \hat{B O H}$

Mà $\hat{H B O} + \hat{B O H} = 90 °$ (do ∆BHO vuông tại H).

Þ $\Rightarrow \hat{B E F} + \hat{B F E} = 90 °$

$\hat{E B F} = 90 °$

Þ Tam giác BEF vuông tại B.

c) Xét ∆ABO và ∆ACO có :

AO chung,

OB = OC = R,

$\hat{A B O} = \hat{A C O} = 90 °$

Þ ∆ABO = ∆ACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Þ $\hat{B A O} = \hat{C A O}$ (hai góc tương ứng)

Mà BD // AO Þ BD ^ BC

Þ $\hat{C B D} = 90 °$

Þ CD là đường kính của (O)

Xét ∆BDC và ∆CBK có:

CD = BK = 2R,

$\hat{B C K} = \hat{C B D} = 90 °$ ,

BC chung,

Þ ∆BDC = ∆CBK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Þ BD = CK

Ta có: $\hat{A B D} = \hat{A B K} + \hat{K B D} = 90 ° + \hat{K B D} \hat{A C K} = \hat{A C D} + \hat{D C K} = 90 ° + \hat{D C K}$

Mà $\hat{K B D} = \hat{D C K}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DK)

$\Rightarrow \hat{A B D} = \hat{A C K}$

Xét ∆ABD và ∆ACK có:

AB = AC (chứng minh câu a),

$\hat{A B D} = \hat{A C K}$ (chứng minh trên),

BD = CK

Þ ∆ABD = ∆ACK (c.g.c)

Þ $\hat{B A D} = \hat{C A K}$ (hai góc tương ứng)

Tam giác ABC có AB = AC (chứng minh trên)

Nên DABC cân tại A

$\Rightarrow \hat{B A O} = \hat{C A O}$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow \hat{B A O} - \hat{B A D} = \hat{C A O} - \hat{C A K}$

=> $\hat{D A O} = \hat{K A O}$

Þ AO là phân giác góc DAK.

Vậy AO là phân giác góc DAK.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

(1,5 điểm) Cho phương trình: x² + 2mx + m² + 2m – 2 = 0 (1) (x là ẩn).

a) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị của m để x₁x₂ + x₁ + x₂ = 0.

Xem đáp án

Lời giải

x² + 2mx + m² + 2m – 2 = 0 có a = 1, b = 2m, c = m² + 2m – 2

Ta có:

∆ = b² – 4ac

= (2m)² – 4.1.(m² + 2m – 2)

= -8m + 8

a) Để phương trình (1) có hai nghiệm Û ∆ ≥ 0

Û −8m + 8 ≥ 0 Û m ≤ 1.

Vậy với m ≤ 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm.

b) Với m ≤ 1, phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂

Theo hệ thức Vi – ét ta có:

$\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - 2 m \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = m^{2} + 2 m - 2 \end{matrix}$

Ta có: x₁x₂ + x₁ + x₂ = 0

Û m² + 2m – 2 – 2m = 0

Û m² = 2

Û m = $\sqrt{2}$ (không thỏa mãn) hoặc m = $- \sqrt{2}$ (thỏa mãn)

Vậy m = $- \sqrt{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2

(0,5 điểm) Từ một tấm tôn hình chữ nhật, kích thước 50cm x 189cm người ta cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50 cm (như hình bên).

Hãy tính bán kính r của đường tròn đáy và thể tích của hình trụ (kết quả làm tròn đến hàng dơn vị). Biết: diện tích xung quanh của hình trụ bằng 2prh, thể tích hình trụ bằng pr²h (h là chiều cao của hình trụ).

Xem đáp án

Lời giải

Diện tích tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 189cm là:

50 . 189 = 9450 (cm²)

Diện tích xung quanh của hình trụ được tính như sau:

S = 2prh

Mà tấm tôn hình chữ nhật cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50 cm nên diện tích của tấm tôn chính là diện tích xung quang của hình trụ.

Do đó ta có: 2pr.50 = 9450

Þ 2pr = 189

Þ r = $\frac{189}{2 π}$ ≈ 30 (cm).

Vậy bán kính hình tròn đáy là khoảng 30 cm.

Thể tích hình trụ là:

V = pr².h ≈ p.30².50 ≈ 141 372 (cm³).

Câu 3

(1,0 điểm) Lớp 9A có 42 học sinh. Vừa qua lớp đã phát động phong trào tặng sách cho các bạn khó khăn ở vùng sâu. Tại buổi phát động, mỗi học sinh trong lớp đều tặng 3 quyển sách hoặc 5 quyển sách. Kết quả cả lớp đã tặng được 146 quyển sách. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu bạn tặng 3 quyển sách và bao nhiêu bạn tặng 5 quyển sách?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

(1,0 điểm) Một cửa hàng bán loại kem lạnh A như sau: nếu mua không quá 3 hộp thì giá 40 nghìn đồng mỗi hộp, nếu mua nhiều hơn 3 hộp thì bắt đầu từ hộp thứ tư trở đi giá mỗi hộp sẽ giảm đi 20% so với giá ban đầu.

a) Viết công thức tính y (số tiền mua kem) theo x (số hộp kem mua được trong trường hợp mua nhiều hơn 3 hộp).

b) An và Bình đều mua loại kem lạnh A với số hộp nhiều hơn 3. Biết rằng số hộp kem An mua gấp đôi số hộp Bình mua, đồng thời tổng số tiền mua kem của hai bạn là 624 nghìn đồng, hỏi bạn Bình mua bao nhiêu hộp kem? Giải thích.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

(1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = $\frac{x^{2}}{2}$ và đồ thị (D) của hàm số y = −3x – 4 trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tính tọa độ các giao điểm của đồ thị (P) và đồ thị (D).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

(1,5 điểm) Giải các phương trình

a) 2x² – 5x + 2 = 0;

b) x⁴ + x² – 6 = 0.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

(1,5 điểm) Cho phương trình: x² + 2mx + m² + 2m – 2 = 0 (1) (x là ẩn).

a) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị của m để x₁x₂ + x₁ + x₂ = 0.

(1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = $\frac{x^{2}}{2}$ và đồ thị (D) của hàm số y = −3x – 4 trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tính tọa độ các giao điểm của đồ thị (P) và đồ thị (D).

(1,5 điểm) Giải các phương trình

a) 2x² – 5x + 2 = 0;

b) x⁴ + x² – 6 = 0.