(1,0 điểm) Một cửa hàng bán loại kem lạnh A như sau: nếu mua không quá 3 hộp thì giá 40 nghìn đồng mỗi hộp, nếu mua nhiều hơn 3 hộp thì bắt đầu từ hộp thứ tư trở đi giá mỗi hộp sẽ giảm đi 20% so với giá ban đầu.

a) Viết công thức tính y (số tiền mua kem) theo x (số hộp kem mua được trong trường hợp mua nhiều hơn 3 hộp).

b) An và Bình đều mua loại kem lạnh A với số hộp nhiều hơn 3. Biết rằng số hộp kem An mua gấp đôi số hộp Bình mua, đồng thời tổng số tiền mua kem của hai bạn là 624 nghìn đồng, hỏi bạn Bình mua bao nhiêu hộp kem? Giải thích.

a) Ta có: AB, AC là 2 tiếp tuyến

Þ AB ^ OB; AC ^ OC

Xét tứ giác ABOC có $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°$

Þ Hai điểm B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

Þ Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.

Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại A

Nên AB = AC và OB = OC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra A và O cùng nằm trên đường trung trực của BC

Do đó AO là đường trung trực của BC.

Þ AO ⊥ BC.

Xét ∆ABO vuông tại B ( $\widehat{ABO}=90°$), BH ^ AO (BC ^ AO, H Î BC)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

OB² = OH.OA

Þ OH.OA = R².

b) F là trung điểm ED 

Þ OF ^ ED (liên hệ giữa dây cung và đường kính)

Xét tứ giác ABFO có $\widehat{ABO}=\widehat{AFO}=90°$

Mà $\widehat{ABO}$  và $\widehat{AFO}$  là hai góc có đỉnh kề nhau của tứ giác ABFO

Þ Tứ giác ABFO nội tiếp

Þ $\widehat{AFB}=\widehat{AOB}$  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà $\widehat{BED}=\widehat{BCD}$  (2 góc cùng chắn cung BD) và $\widehat{BCD}=\widehat{HBO}$ (Tam giác OBC cân tại O).

=> $\Rightarrow \widehat{BEF}+\widehat{BFE}=\widehat{BCD}+\widehat{BFA}=\widehat{HBO}+\widehat{BOH}$

Mà$\widehat{HBO}+\widehat{BOH}=90°$ (do ∆BHO vuông tại H).

Þ $\Rightarrow \widehat{BEF}+\widehat{BFE}=90°$

$\widehat{EBF}=90°$

Þ Tam giác BEF vuông tại B.

c) Xét ∆ABO và ∆ACO có :

AO chung,

OB = OC = R,

$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°$

Þ ∆ABO = ∆ACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Þ $\widehat{BAO}=\widehat{CAO}$  (hai góc tương ứng)

Mà BD // AO Þ BD ^ BC

Þ $\widehat{CBD}=90°$

Þ CD là đường kính của (O)

Xét ∆BDC và ∆CBK có:

CD = BK = 2R,

$\widehat{BCK}=\widehat{CBD}=90°$,

BC chung,

Þ ∆BDC = ∆CBK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Þ BD = CK

Ta có: $$\begin{gathered} \widehat{ABD}=\widehat{ABK}+\widehat{KBD}=90°+\widehat{KBD} \\ \widehat{ACK}=\widehat{ACD}+\widehat{DCK}=90°+\widehat{DCK} \end{gathered}$$

Mà $\widehat{KBD}=\widehat{DCK}$  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DK)

$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACK}$

Xét ∆ABD và ∆ACK có:

AB = AC (chứng minh câu a),

$\widehat{ABD}=\widehat{ACK}$ (chứng minh trên),

BD = CK

Þ ∆ABD = ∆ACK (c.g.c)

Þ $\widehat{BAD}=\widehat{CAK}$  (hai góc tương ứng)

Tam giác ABC có AB = AC (chứng minh trên)

Nên DABC cân tại A

 $\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{CAO}$ (tính chất tam giác cân)

 $\Rightarrow \widehat{BAO}-\widehat{BAD}=\widehat{CAO}-\widehat{CAK}$

=> $\widehat{DAO}=\widehat{KAO}$

Þ AO là phân giác góc DAK.

Vậy AO là phân giác góc DAK.