Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. 1) Tính BDC^. 2) Chứng minh AEHD là tứ giác nội tiếp. 3) Các đường thẳng BD và CE cắt đường tròn...

a) Ta có BD ^ AC (gt) Þ BDC^= 90° b) Ta có CE ^ AB (gt) Þ AEC^ = 90° BD ^ AC (gt) Þ BDA^ = 90° Þ AEC^+BDA^= 180° Þ AEHD là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°). 3) Xét ∆BHQ và ∆CHP có: BHQ^=CHP^(Hai góc đổi đỉnh) BQH^=CPH^(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC của đường tròn (O)). Nên ∆BHQ ∽∆CHP (g.g) Þ BHCH=HQHPÞ HB.HP = HC.HQ 4) Ta có BDC^=BEC^= 90° (chứng minh trên) Mà hai góc BDC^ và BEC^ cùng nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc vuông Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC. Þ BDE^=BCQ^ (góc nội tiếp cùng chắn cung BE của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE) (1). Có BCQ^=QPB^(góc nội tiếp cùng chắn cung BQ của đường tròn (O)) (2). Từ (1) và (2) Þ QPB^=BDE^ Mà hai góc này ở vị trí đồng vị Þ PQ // DE (*). Ta có DCE^=DBE^(góc nội tiếp cùng chắn cung DE của đường tròn nội tiếp tứ giác BCDE). Hay ACQ^=ABP^ Û AP = AQ (3). Mặt khác: OP = OQ (cùng là bán kính của đường tròn (O)) (4). Từ (3) và (4) Þ OA là đường trung trực của đoạn thẳng PQ Þ OA ^ PQ (*)(*). Từ (*) và (*)(*) suy ra OA ^ DE (đpcm).