Biết rằng hàm số y = f(x) = x³ + 2x + 1 đồng biến trên ℝ. Đặt \(A = {\left( {\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2\left( {\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)\) và \(B = \frac{8}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}} + \frac{4}{{{x^2} + 1}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì parabol có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{1}{3}\) nên ta có \( - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra –3b = 2a.

Tức là, 2a + 3b = 0    (1)

Theo đề, ta có parabol đi qua điểm A(1; 3).

Suy ra 3 = a.1² + b.1 + 4.

Khi đó a + b + 4 = 3.

Do đó a + b = –1        (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 0\\a + b = - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 2\end{array} \right.\).

Vì vậy a + 2b = –3 + 2.2 = 1.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biểu thức f(x) có nghĩa khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}16 - {x^2} \ge 0\\2023x + 2024m \ge 0\end{array} \right.\).

Tức là, \(\left\{ \begin{array}{l} - 4 \le x \le 4\\x \ge - \frac{{2024m}}{{2023}}\end{array} \right.\).

Do đó tập xác định của hàm số là D = \(\left[ { - 4;4} \right] \cap \left[ { - \frac{{2024m}}{{2023}}; + \infty } \right)\)

Ta có tập xác định của hàm số đã cho chỉ có đúng một phần tử.

Nghĩa là, D = \(\left[ { - 4;4} \right] \cap \left[ { - \frac{{2024m}}{{2023}}; + \infty } \right)\) chỉ có đúng một phần tử.

Û \(4 = - \frac{{2024m}}{{2023}}\) Û –2024m = 8092.

Do đó \(m = - \frac{{2023}}{{506}}\).

Vì vậy a = –2023 và b = 506 (vì a ∈ ℤ, b ∈ ℕ^*).

Vậy a + b = –2023 + 506 = –1517.

Do đó ta chọn phương án A.